UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Qual dos sistemas abaixo é causal?
y(t)=x(2(t-2));

Passo 1

Beleza, então o exercício quer saber se o sistema
y(t)=xl(2,(t-2)r)
é causal ou não. Isso cai em Análise de Sinais e Sistemas, mais especificamente na parte de causalidade. Para resolver, vamos precisar da definição de causalidade e de um pouco de álgebra simples para comparar os instantes.

Passo 2

Definição de causalidade (explicando do zero):
Um sistema é causal quando, para qualquer instante , a saída depende apenas de valores de entrada com . Em outras palavras, ele não pode “olhar pro futuro” do sinal de entrada.

Passo 3

No nosso caso temos
y(t)=xl(2,(t-2)r);=;xl(2t-4r)
Para ver se há “visita ao futuro”, vamos chamar y(t0)=xl(2t0-4r) de um tempo qualquer e ver quais valores de 2t0-4 ;<=; t0 aparecem em 2t0 - 4 <= t0 Longrightarrow 2t0 - t0 <= 4 Longrightarrow t0 <= 4 . Temos
2t0-4 > t0,
Para ser causal, precisamos que
para todo . Vamos resolver essa desigualdade:
Isso mostra que quando o argumento está no passado ou presente ( ). Mas se , então
ou seja, depende de num instante maior que — isto é, do futuro do sinal de entrada.

Resposta

O sistema
y(t)=xl(2(t-2)r)
não é causal, pois para a saída em depende de em instantes maiores que .

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