UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Qual dos sistemas abaixo não é estável?
y[n]=sumk=-n^0 x[k];

Passo 1

Então, o que temos aqui? A questão quer saber se o sistema discreto
y[n] = sumk=-n^0 x[k]
é estável ou não. Isso cai dentro do conteúdo de estabilidade BIBO em sinais e sistemas. Para responder, vamos precisar:
  1. Entender o que é estabilidade BIBO (Bounded‐Input Bounded‐Output).
  2. Verificar se, para todo sinal de entrada limitado (ou seja, ), a saída também fica limitada por alguma constante.

Passo 2

O que significa estabilidade BIBO?
Um sistema é BIBO estável se, sempre que para todo (alguma constante finita ), a saída também satisfaz para todo , onde é outra constante finita. Em outras palavras, entrada limitada ⇒ saída limitada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso sistema:
y[n] = sumk=-n^0 x[k]
Suponha que a entrada seja limitada:
lvert x[k]rvert <= M forall k
Então, usando desigualdade triangular, temos
llvert y[n]rrvert = lvert sumk=-n^0 x[k]rvert <= sumk=-n^0 llvert x[k]rrvert <= sumk=-n^0 M

Passo 4

Quantos termos tem essa soma lvert y[n]rvert <= (n+1),M ?
  • Se , os índices vão de até .
  • Isso dá termos.
    Logo
Repara que esse limite cresce sem parar conforme aumenta. Ou seja, mesmo com , a saída pode ficar tão grande quanto quisermos se for grande.

Resposta

O sistema é não-estável (não BIBO estável), pois a saída cresce com e não fica limitada por uma constante fixa.

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