UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Qual dos sistemas abaixo não é estável?
y[n]=sumk=-10^10 3^k x[k].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos um sistema discreto dado por
y[n] = sumk=-10^10 3^k,x[k]
e a pergunta é se esse sistema é estável (BIBO). Isso cai em Análise de Sinais e Sistemas, mais precisamente em Estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output). Para resolver, vamos usar a definição de estabilidade BIBO e ver se, pra toda entrada limitada, a saída também fica limitada.

Passo 2

Definição de estabilidade BIBO (sem pular nada):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada x[n] satisfaz
|x[n]|<= B
então existe uma constante M tal que a saída satisfaz
|y[n]|<= M
Ou seja, entrada limitada implica saída limitada.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos
y[n] = sumk=-10^10 3^k,x[k]
Como |x[k]|<= B para todo k, podemos usar a desigualdade triangular:
$$|y[n]| ;=;\Bigl|\sum_{k=-10}{10}3k,x[k]\Bigr|
\le \sum_{k=-10}^{10} \bigl|3^k,x[k]\bigr|
= \sum_{k=-10}^{10} 3^k,|x[k]|
\le \sum_{k=-10}^{10} 3^k ;B
= B\sum_{k=-10}{10}3k.$$

Passo 4

Só falta ver se sumk=-10^103^k é finito. Como são 21 termos de uma progressão geométrica com razão 3, claramente esse somatório é um número finito (mesmo sendo grande, não é infinito). Logo podemos escolher
M = sumk=-10^103^k
e temos |y[n]|<= B,M.

Resposta

O sistema é BIBO estável (a soma de 3^k de k=-10 a 10 é finita), logo esse sistema NÃO é instável.

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