UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
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Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Qual dos sistemas abaixo não é estável?
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CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
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Qual dos sistemas abaixo não é estável?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos um sistema discreto dado por
e a pergunta é se esse sistema é estável (BIBO). Isso cai em Análise de Sinais e Sistemas, mais precisamente em Estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output). Para resolver, vamos usar a definição de estabilidade BIBO e ver se, pra toda entrada limitada, a saída também fica limitada.
Passo 2
Definição de estabilidade BIBO (sem pular nada):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada satisfaz
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada
então existe uma constante
Ou seja, entrada limitada implica saída limitada.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos
Como
$$|y[n]| ;=;\Bigl|\sum_{k=-10}{10}3k,x[k]\Bigr|
\le \sum_{k=-10}^{10} \bigl|3^k,x[k]\bigr|
= \sum_{k=-10}^{10} 3^k,|x[k]|
\le \sum_{k=-10}^{10} 3^k ;B
= \sum_{k=-10}^{10} 3^k,|x[k]|
\le \sum_{k=-10}^{10} 3^k ;B
= B\sum_{k=-10}{10}3k.$$
Passo 4
Só falta ver se
é finito. Como são 21 termos de uma progressão geométrica com razão 3, claramente esse somatório é um número finito (mesmo sendo grande, não é infinito). Logo podemos escolher
e temos
Resposta
O sistema é BIBO estável (a soma de
de
a
é finita), logo esse sistema NÃO é instável.