UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Dados x(t)=e^-alpha t u(t) e h(t)=e^-beta t u(t). Calcule:
x(t) * h(t) para alpha neq beta;

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um problema de convolução de sinais contínuos:
x(t)=e^-alpha tu(t)e h(t)=e^-beta tu(t),
com (x*h)(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau . O conteúdo envolvido é “convolução de sinais” — em outras palavras, vamos usar a definição de convolão
e o comportamento da função degrau unitário . Para resolver, vamos precisar lembrar o que é o degrau , que “liga” o sinal a partir de , e como simplificar a integral usando isso.

Passo 2

Primeiro, recapitula a definição de convolução:
(x*h)(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
Aqui e . A função é zero para e 1 para ; já é zero para (quando é fixo). Isso limita os valores de que realmente contribuem na integral.

Passo 3

Como 0<= tau <= t anula tudo para (x*h)(t) =integral0^te^-alpha tau,e^-beta,(t-tau),dtau =integral0^te^-alpha tau,e^-beta t +beta tau,dtau =e^-beta tintegral0^te^-(alpha-beta)tau,dtau e anula tudo para , a região não nula é
Logo, para não existe região válida e (já que em tempo negativo os sinais estão “desligados”). Para temos

Passo 4

Agora basta calcular
integral0^te^-(alpha-beta)tau,dtau
Como integral0^te^-(alpha-beta)tau,dtau =[e^-(alpha-beta)tau-(alpha-beta)]0^t =1 - e^-(alpha-beta)talpha-beta , o resultado é
(x*h)(t) =e^-beta t,1 - e^-(alpha-beta)talpha-beta =e^-beta t - e^-alpha talpha-beta
Logo, voltando ao produto com :

Resposta

boxed(x*h)(t)=e^-beta t-e^-alpha talpha-beta,u(t)

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