UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Dados x(t)=e^-alpha t u(t) e h(t)=e^-beta t u(t). Calcule:
x(t) * h(t) para alpha=beta;

Passo 1

Beleza, amigo! O enunciado diz o seguinte: temos dois sinais contínuos
y(t)=x(t)*h(t) e , e a gente precisa calcular a convolução
no caso especial .
O conteúdo aqui é “convolução de sinais no tempo contínuo”. Para resolver, vamos precisar:
  1. Saber a definição integral da convolução contínua.
  2. Entender que o produto com (função degrau) limita a integral.
  3. Fazer a integral resultante passo a passo.

Passo 2

A definição de convolução contínua é
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
Como y(t)=integral-infty^infty e^-alpha tauu(tau);e^-beta (t-tau)u(t-tau);dtau e , temos:
O degrau “liga” só para e só para . Logo o intervalo de integração vira de até (para ; para , a convolução é zero).

Passo 3

No caso e^-atau;e^-a(t-tau) = e^-atau;e^-a t + atau = e^-a t , o integrando é
y(t) =integral0^t e^-a t,dtau = e^-a tintegral0^t dtau = e^-a t;(t-0) = t,e^-a t
Então a integral fica

Passo 4

Lembrando que só vale para y(t)=t,e^-a t,u(t) (porque as duas garantem isso), devemos multiplicar por . Assim:

Resposta

boxed,x(t)*h(t)=t,e^-alpha t,u(t)(para alpha=beta)

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