UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Suponha que
e , sendo .
Se apresenta somente três descontinuidades, qual o valor de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sinal pulso
e outro sinal
com . A questão pede que, ao definirmos
o derivado tenha apenas três descontinuidades. O que precisamos aqui é:
entender como funciona a convolução de dois pulsos retangulares;
montar expressão de de forma “peça a peça” (piecewise);
ver onde o derivado muda de valor (ou seja, onde há descontinuidade);
achar o valor de que dá só três pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir . Como
isso significa que sempre que
e zero fora disso. Logo
Aí já vemos: é um retângulo de largura 1, e é outro retângulo de largura .
Passo 3
Agora a convolução
Mas, por suporte, só interessa integrar onde ambos são 1. Isso ocorre se estiver em (para ) e ao mesmo tempo em (para ). Então
O intervalo de integração válido é a interseção
Como e valem 1 nessas faixas, a integral vira só o comprimento desse intervalo:
Passo 4
Agora vamos analisar em que regimes de esse intervalo muda de forma:
Para : não há interseção, logo .
Para : o intervalo bate parcialmente com , ele vai de 0 até , então
Para : agora está inteiro contido em , então o comprimento é .
Para : o pedaço sai pela direita de 1, sobra de até 1, comprimento .
Para : não há mais interseção, .
Resumindo,
Passo 5
Agora vamos ao derivado t=0, t=alpha, t=1, t=1+alpha . Em cada trecho:
Para e , , então .
Para , ⇒ .
Para , ⇒ .
Para , ⇒ .
As descontinuidades acontecem nos pontos onde a derivada salta de um valor a outro, ou onde a própria expressão muda de definição. São estes candidatos:
Em geral isso dá 4 pontos de salto em . Só teremos 3 se dois desses pontos “se juntarem” — isto é, se dois números coincidem. As opções são: