UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Suponha que
e x(t)= 1, & 0 <= t <= 1 0, & caso contrário , sendo h(t)=x(t / alpha).
Se 0 apresenta somente três descontinuidades, qual o valor de d y(t) / d t ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sinal pulso
x(t)= 1, & 0<= t<=1 0, & caso contrário á
e outro sinal
h(t)=xl(tfrac talphar),
com y(t)=x(t)ast h(t), . A questão pede que, ao definirmos
o derivado tenha apenas três descontinuidades. O que precisamos aqui é:
  1. entender como funciona a convolução de dois pulsos retangulares;
  2. montar expressão de de forma “peça a peça” (piecewise);
  3. ver onde o derivado muda de valor (ou seja, onde há descontinuidade);
  4. achar o valor de que dá só três pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir h(t)=xl( talphar), . Como
0 <= talpha <= 1 Longrightarrow 0<= t <= alpha,
isso significa que h(t)= 1, & 0<= t<= alpha, 0, & caso contrário sempre que
e zero fora disso. Logo
á
Aí já vemos: é um retângulo de largura 1, e é outro retângulo de largura .

Passo 3

Agora a convolução
y(t) = (x*h)(t) = integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Mas, por suporte, só interessa integrar onde ambos são 1. Isso ocorre se 0 <= tau <= 1 e 0 <= t-tau <= alpha ;Longrightarrow; t-alpha <= tau <= t estiver em tau in [0,1];cap;[,t-alpha,;t,] (para y(t)=medidal([0,1]cap[t-alpha,t]r) ) e ao mesmo tempo em (para ). Então
O intervalo de integração válido é a interseção
Como e valem 1 nessas faixas, a integral vira só o comprimento desse intervalo:

Passo 4

Agora vamos analisar em que regimes de y(t)=t-0=t esse intervalo muda de forma:
  1. Para y(t)=alpha : não há interseção, logo y(t)=1+alpha-t .
  2. Para y(t)= 0, & t<0, t, & 0<= t<= alpha, alpha, & alpha<= t<= 1, 1+alpha-t, & 1<= t<= 1+alpha, 0, & t>=1+alpha : o intervalo bate parcialmente com , ele vai de 0 até , então
  3. Para : agora está inteiro contido em , então o comprimento é .
  4. Para : o pedaço sai pela direita de 1, sobra de até 1, comprimento .
  5. Para : não há mais interseção, .
Resumindo,

Passo 5

Agora vamos ao derivado t=0, t=alpha, t=1, t=1+alpha . Em cada trecho:
  • Para e , , então .
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
As descontinuidades acontecem nos pontos onde a derivada salta de um valor a outro, ou onde a própria expressão muda de definição. São estes candidatos:
Em geral isso dá 4 pontos de salto em . Só teremos 3 se dois desses pontos “se juntarem” — isto é, se dois números coincidem. As opções são:
  • juntar e ? Só dá se , mas .
  • juntar e ? Só dá se .
  • juntar e ? Só dá se , fora de questão.
  • juntar e ? Impossível (0≠1).
A única reunificação possível dentro de é .

Resposta

.

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