UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1
Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Os sinais discretos
e
são dois pulsos causais de amplitude 1 com duração
e
, respectivamente. Assim,
, para
e
, para
,
.
Considerando
, apresente uma fórmula para
em função de
e
.
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1
Os sinais discretos
Considerando
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois sinais discretos causais, ambos “retangulares” de amplitude 1:
- x[n]=1 para n=0,1,…,Nₓ−1 (duração Nₓ)
- h[n]=1 para n=0,1,…,Nₕ−1 (duração Nₕ)
E a gente sabe que Nₓ < Nₕ.
O objetivo é achar y[n] = x[n] * h[n], ou seja, a convolução dos dois, em função de Nₓ e Nₕ.
Conteúdo: convolução discreta e como lidar com sinais retangulares. A gente vai usar a definição de y[n] = Σₖ x[k]·h[n−k], analisar pra quais k o produto é não-zero e escrever o resultado em partes (cresce, fica constante, decresce).
Passo 2
Primeiro, escrevendo a definição de convolução discreta:
Como x[k] só existe (vale 1) em k=0,1,…,Nₓ−1 e h[n−k] só existe (vale 1) em n−k=0,1,…,Nₕ−1, o somatório fica restrito ao intervalo
Em outras palavras, a soma é número de valores de k que satisfazem simultaneamente 0≤k≤Nₓ−1 e n−(Nₕ−1)≤k≤n. Cada termo contribui com 1·1 = 1, então y[n] é simplesmente o tamanho desse “intervalo de sobreposição”.
Passo 3
Agora, olhando como varia a sobreposição conforme n cresce:
- Para n<0 ou n>Nₓ+Nₕ−2: não há interseção, então y[n]=0.
- Para 0≤n< Nₓ: o intervalo de k é de 0 até n (pois n< Nₓ ⇒ n<Nₓ−1+1), então y[n]=n−0+1 = n+1.
- Para Nₓ≤n< Nₕ: agora a janela de x (0…Nₓ−1) cabe totalmente dentro da de h deslocada, então todo k=0…Nₓ−1 serve ⇒ y[n]=Nₓ.
- Para Nₕ≤n≤Nₓ+Nₕ−2: a parte que sobra é a interseção decrescente; contagem = (Nₓ−1)−(n−(Nₕ−1))+1 = Nₓ+Nₕ−1−n.
Resposta
Juntando tudo em uma fórmula única: