UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Os sinais discretos x[n] e h[n] são dois pulsos causais de amplitude 1 com duração NX e NH, respectivamente. Assim, x[n]=1, para n=0,1, ldots, NX-1 e h[n]=1, para n=0,1, ldots, NH-1.
Considerando NX, apresente uma fórmula para y[n]=x[n] * h[n] em função de NX e NH.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois sinais discretos causais, ambos “retangulares” de amplitude 1:
  • x[n]=1 para n=0,1,…,Nₓ−1 (duração Nₓ)
  • h[n]=1 para n=0,1,…,Nₕ−1 (duração Nₕ)
    E a gente sabe que Nₓ < Nₕ.
    O objetivo é achar y[n] = x[n] * h[n], ou seja, a convolução dos dois, em função de Nₓ e Nₕ.
    Conteúdo: convolução discreta e como lidar com sinais retangulares. A gente vai usar a definição de y[n] = Σₖ x[k]·h[n−k], analisar pra quais k o produto é não-zero e escrever o resultado em partes (cresce, fica constante, decresce).

Passo 2

Primeiro, escrevendo a definição de convolução discreta:
y[n] = sumk=-infty^infty x[k];h[n-k]
Como x[k] só existe (vale 1) em k=0,1,…,Nₓ−1 e h[n−k] só existe (vale 1) em n−k=0,1,…,Nₕ−1, o somatório fica restrito ao intervalo
kin 0,dots,Nₓ-1;cap;n-(Nₕ-1),dots,n
Em outras palavras, a soma é número de valores de k que satisfazem simultaneamente 0≤k≤Nₓ−1 e n−(Nₕ−1)≤k≤n. Cada termo contribui com 1·1 = 1, então y[n] é simplesmente o tamanho desse “intervalo de sobreposição”.

Passo 3

Agora, olhando como varia a sobreposição conforme n cresce:
  1. Para n<0 ou n>Nₓ+Nₕ−2: não há interseção, então y[n]=0.
  2. Para 0≤n< Nₓ: o intervalo de k é de 0 até n (pois n< Nₓ ⇒ n<Nₓ−1+1), então y[n]=n−0+1 = n+1.
  3. Para Nₓ≤n< Nₕ: agora a janela de x (0…Nₓ−1) cabe totalmente dentro da de h deslocada, então todo k=0…Nₓ−1 serve ⇒ y[n]=Nₓ.
  4. Para Nₕ≤n≤Nₓ+Nₕ−2: a parte que sobra é a interseção decrescente; contagem = (Nₓ−1)−(n−(Nₕ−1))+1 = Nₓ+Nₕ−1−n.

Resposta

Juntando tudo em uma fórmula única:
y[n]= 0, & n<0 ou n>NX+NH-2, n+1, & 0<= n< NX, NX, & NX<= n< NH, NX+NH-1 - n, & NH<= n<= NX+NH-2

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