UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Dois sistemas h1[n] e h2[n] são inversos um do outro se, e somente se,
h1[n] * h2[n]=de
Considere dois sistemas LIT caracterizados pelas suas respostas ao impulso dadas por
h1[n]=de
Verifique se h1[n] e h2[n] são inversos um do outro.

Passo 1

Beleza, aqui a pergunta é: temos dois sistemas LTI com respostas ao impulso
e .
A gente precisa verificar se a convolução deles dá exatamente .
Se der, eles são inversos um do outro.
Então o que vamos usar:
  • Definição de convolução discreta
  • Propriedades do delta de Kronecker ( )
  • Propriedade do escalonamento ( )

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de convolução entre duas sequências (x * y)[n] ;=; sumk=-infty^infty x[k];y[n-k] e (h1 * h2)[n] ;=; sumk=-infty^infty h1[k];h2[n-k] :
Então pro nosso caso queremos calcular

Passo 3

Substituindo as expressões:
(h1 * h2)[n] = sumk=-infty^infty l(de
Aí dá pra separar em duas somas:
sumk de

Passo 4

Agora usamos a propriedade do delta:
  • (h1 * h2)[n] = u[n] - u[n-1] “pega” , fica .
  • “pega” , fica .
    Logo

Passo 5

Faltou lembrar que é justamente !
Isso é uma propriedade básica: a diferença entre dois passos deslocados gera um pulso.

Resposta

Portanto
(h1 * h2)[n] = de
ou seja, e são inversos um do outro.

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