(UFPE) Nos vértices de um triângulo isósceles são fixadas três cargas puntiformes iguais a Q_{1}=1,0 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}; Q_{2}=-2,0 \cdot 10^{-6} \mathrm{C} e Q_{3}=4,0 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}. O triângulo tem altura h=3,0 \mathrm{~mm} e base D=6,0 \mathrm{~mm}. Determine o módulo do
campo elétrico no ponto médio M, da base que liga \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2}, em unidades de 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá três cargas puntiformes Q_{1}=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C}, Q_{2}=-2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} e Q_{3}=4{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} nos vértices de um triângulo isósceles de base D=6{,}0\,\mathrm{mm} e altura h=3{,}0\,\mathrm{mm}. Pede-se o módulo do campo elétrico resultante no ponto médio M da base que liga Q_{1} e Q_{2}. Conteúdo: lei de Coulomb e soma vetorial de campos.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com M na origem (0,0), a base ao longo do eixo x:
Q_{1}\,\text{em}\,(-D/2,\,0)=(-3\,\mathrm{mm},0),\quad Q_{2}\,\text{em}\,(+3\,\mathrm{mm},0),\quad Q_{3}\,\text{em}\,(0,h)=(0,3\,\mathrm{mm}).
Convertendo para metros: D/2=3\times10^{-3}\,\mathrm{m}, h=3\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Campo em M devido a Q_{1}:
Distância r_{1}=3\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Como Q_{1}>0, o campo é de repulsão, apontando de Q_{1} para M, isto é, no sentido +x.
E_{1} = \frac{k\,|Q_{1}|}{r_{1}^{2}} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times1{,}0\times10^{-6}}{(3\times10^{-3})^{2}} \approx1{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m} \quad(\hat\imath).

Passo 4

Campo em M devido a Q_{2}:
Distância r_{2}=3\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Como Q_{2}<0, o campo aponta em direção a Q_{2}, isto é, também no sentido +x.
E_{2} = \frac{k\,|Q_{2}|}{r_{2}^{2}} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times2{,}0\times10^{-6}}{(3\times10^{-3})^{2}} \approx2{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m} \quad(\hat\imath).

Passo 5

Resultante horizontal:
E_{x} = E_{1}+E_{2} \approx(1{,}0+2{,}0)\times10^{9} = 3{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m}.

Passo 6

Campo em M devido a Q_{3}:
Distância r_{3}=h=3\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Como Q_{3}>0, o campo em M é de repulsão, dirigido de Q_{3} para M, isto é, para baixo -y.
E_{3} = \frac{k\,Q_{3}}{h^{2}} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times4{,}0\times10^{-6}}{(3\times10^{-3})^{2}} \approx4{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m} \quad(-\hat\jmath).
Logo E_{y}=-4{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m}.

Passo 7

Módulo do campo resultante \vec E=(E_{x},E_{y}):
|\vec E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}} = \sqrt{(3{,}0\times10^{9})^{2}+( -4{,}0\times10^{9})^{2}} =5{,}0\times10^{9}\,\mathrm{V/m}.

Resposta

5 (em unidades de 10^{9}\,\mathrm{V/m}).

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