(Ufpr) Um aviăo voa numa trajetória retilínea e horizontal próximo à superfície da Terra. No interior da aeronave, uma maleta está apoiada no chão. O coeficiente de atrito estático entre a maleta e o chão do aviăo é \mu e a aceleração da gravidade no local do voo é g. Considerando esta situação, analise as seguintes afirmativas:
  1. Se a maleta não se mover em relação ao chão do avião, então um passageiro pode concluir corretamente, sem acesso a qualquer outra informação, que o avião está se deslocando com velocidade constante em relação ao solo.
  2. Se o avião for acelerado com uma aceleração superior a \mu \mathrm{g}, então o passageiro verá a maleta se mover para trás do aviảo, enquanto um observador externo ao avião, em repouso em relação à superficie da Terra, verá a maleta se mover no mesmo sentido em que o avião se desloca.
  3. Para um mesmo valor da aceleração da aeronave em relação à Terra, com módulo maior que \mu \mathrm{g}, maletas feitas de mesmo material e mesmo tamanho, mas com massas diferentes, escorregarão no interior do avião com o mesmo valor da aceleração em relação ao chão da aeronave.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede para avaliar a veracidade de três afirmações.
Dados fornecidos:
  • Uma maleta está apoiada no chão de um avião que voa em trajetória retilínea e horizontal perto da superfície da Terra.
  • O coeficiente de atrito estático entre a maleta e o chão do avião é \mu.
  • Aceleração da gravidade no local é g.
  • Considerar situações em que o avião pode ter aceleração horizontal (módulo eventualmente maior que \mu g).
O que se pede:
  • Determinar se as afirmações 1, 2 e 3 são verdadeiras ou falsas:
    1. Se a maleta não se mover em relação ao chão do avião, então um passageiro pode concluir corretamente, sem mais informações, que o avião se desloca com velocidade constante em relação ao solo.
    2. Se o avião for acelerado com uma aceleração superior a \mu g, o passageiro verá a maleta se mover para trás do avião, enquanto um observador externo (em repouso na Terra) verá a maleta mover-se no mesmo sentido do deslocamento do avião.
    3. Para um mesmo valor da aceleração da aeronave em relação à Terra, com módulo maior que \mu g, maletas de mesmo material e tamanho, mas massas diferentes, escorregarão no interior do avião com o mesmo valor da aceleração em relação ao chão da aeronave.

Passo 2

Conceito fundamental sobre atrito estático (aula rápida e aplicada).
  • Atrito estático é a força que impede o deslizamento relativo entre duas superfícies em contato. Essa força ajusta-se até um máximo para manter a ausência de movimento relativo.
  • O valor máximo da força de atrito estático vale
f_{s}^{\max}=\mu\,N,
onde N é a força normal entre as superfícies. Aqui, como o avião é horizontal e a maleta repousa sobre o chão, a normal é N=m g (onde m é a massa da maleta). Logo
f_{s}^{\max}=\mu\,m g.
  • Interpretação prática: se for necessário aplicar uma força horizontal menor ou igual a \mu m g para acelerar a maleta junto com o avião, a maleta não escorrega; se a necessidade exceder \mu m g, a maleta começa a deslizar.

Passo 3

Aplicação no referencial inercial (terrestre) para responder à afirmativa 1.
  • Se o avião tem aceleração horizontal \,a, para que a maleta acompanhe o avião sem deslizar ela deve ter a mesma aceleração a no referencial da Terra. A força horizontal necessária para acelerar a maleta é m a. Essa força vem do atrito estático e só existe se m a \le f_{s}^{\max}.
  • Usando o máximo do atrito estático:
m a \le \mu m g \quad\Rightarrow\quad a \le \mu g.
  • Consequência lógica: se a maleta não se move em relação ao chão, isso apenas garante que a \le \mu g. Não garante que a=0. Ou seja, o avião pode estar acelerando (com 0<a\le\mu g) e a maleta permanecer em repouso relativo ao chão por causa do atrito estático que fornece a força necessária.
  • Conclusão sobre a afirmativa 1: é falsa. Um passageiro, vendo apenas que a maleta não se move, não tem informação suficiente para concluir que a velocidade do avião é constante; o avião poderia estar acelerando com a até \mu g.

Passo 4

Análise da afirmativa 2 no referencial do passageiro (referencial não inercial do avião).
  • No referencial acelerado do avião (aceleração para frente com módulo a), pode-se introduzir uma força pseudo (inercial) sobre a maleta de módulo m a apontando para trás. A situação horizontal para a maleta tem duas forças horizontais relevantes: a força de atrito (para frente, quando o chão tenta arrastar a maleta) e a pseudo-força (para trás).
  • Enquanto a força de atrito estático puder equilibrar a pseudo-força, a maleta não se move em relação ao chão. Se a pseudo-força exceder o máximo de atrito estático, ou seja se
m a > \mu m g \quad\text{(equivalente a)}\quad a > \mu g,
então o atrito não consegue segurar a maleta e ela vai deslizar. No referencial do passageiro isso aparece como a maleta se movendo para trás do avião (pois a inércia “faz” a maleta ficar para trás quando o avião acelera para frente).
  • Portanto, a primeira parte da afirmativa 2 (“o passageiro verá a maleta se mover para trás do avião”) é correta quando a>\mu g.

Passo 5

Análise da afirmativa 2 no referencial externo (terrestre).
  • No referencial inercial da Terra, quando o avião acelera para frente com a>\mu g, o chão do avião arrasta a maleta para frente mas o atrito estático máximo não basta para conferir à maleta a aceleração a. Assim a maleta começa a deslizar; durante o deslizamento a força de atrito na maleta (cinético) atua no sentido do movimento relativo do chão sobre a maleta. O chão do avião move-se para frente em relação à maleta, então a força de atrito sobre a maleta é dirigida para frente (ou seja, tenta arrastá-la na mesma direção do avião).
  • Logo, do ponto de vista de um observador externo na Terra, a maleta terá aceleração para frente (mesmo sentido do avião) — possivelmente menor que a — e portanto se moverá para frente em relação ao solo.
  • Conclusão sobre a afirmativa 2: correta nas duas partes (passageiro vê maleta deslizar para trás relativo ao avião; observador externo vê maleta mover-se na direção do deslocamento do avião). A afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmativa 3 (dependência da massa).
  • Quando começa o deslizamento, a força de atrito que passa a atuar é a força de atrito cinético. Denotar por \mu_k o coeficiente de atrito cinético (na prática, se o enunciado usa \mu como único coeficiente, assume-se \mu_k\approx\mu para raciocínio qualitativo). A força de atrito cinético tem módulo
f_k=\mu_k N=\mu_k m g.
  • Para a maleta, considerando referencial inercial da Terra, a resultante horizontal é f_k para frente, de modo que sua aceleração em relação ao solo é
a_{\text{maleta}}=\frac{f_k}{m}=\frac{\mu_k m g}{m}=\mu_k g.
Observe que a_{\text{maleta}} é independente da massa m (a massa cancela).
  • A aceleração da maleta em relação ao chão do avião (aceleração relativa) é
a_{\text{rel}}=a_{\text{maleta}}-a=\mu_k g - a.
Também é independente da massa m.
  • Consequência prática: para maletas feitas do mesmo material e mesmo tamanho (mesmo coeficiente de atrito e mesma normal por unidade de massa), maletas de massas diferentes deslizarão com a mesma aceleração em relação ao chão do avião, desde que ambas estejam em regime de deslizamento sob as mesmas condições (mesmo a, mesma \mu_k).
  • Conclusão sobre a afirmativa 3: verdadeira.

Passo 7

Resumo lógico final das três afirmativas com justificativa curta:
  • Afirmativa 1: falsa (ausência de movimento relativo não garante a=0; pode existir 0<a\le\mu g).
  • Afirmativa 2: verdadeira (passageiro vê maleta deslizar para trás relativo ao avião; observador terrestre vê maleta mover-se para frente, mesmo sentido do avião).
  • Afirmativa 3: verdadeira (em deslizamento a aceleração da maleta relativa ao chão do avião é \mu_k g - a, que não depende da massa).

Resposta

d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

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