(Ufsm) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardiacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças.
Supōe-se que um hospital dispōe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores?
a) 200 .
b) 300 .
c) 600 .
d) 720 .
e) 1.200 .

Passo 1

O enunciado pede o número de equipes diferentes que podem ser formadas com as seguintes exigências:
  • escolher 3 cardiologistas de um grupo de 5;
  • escolher 1 anestesista de um grupo de 2;
  • escolher 4 instrumentadores de um grupo de 6.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • número de cardiologistas disponíveis: 5;
  • número de anestesistas disponíveis: 2;
  • número de instrumentadores disponíveis: 6;
  • cada equipe deve conter exatamente 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): quando escolhas são feitas independentemente em grupos distintos (por exemplo, escolher cardiologistas, anestesistas e instrumentadores separadamente), o número total de combinações é o produto do número de combinações em cada grupo. Para escolher um subconjunto de k elementos dentre n sem considerar ordem usamos a combinação, também chamada de coeficiente binomial, cujo valor é dado por:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(2)(1). Exemplo curto: \,4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 3

Calcular o número de maneiras de escolher 3 cardiologistas dentre 5. Usamos a fórmula da combinação:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!2!}.
Agora computamos os fatoriais passo a passo:
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120,\quad 3!=3\cdot2\cdot1=6,\quad 2!=2\cdot1=2.
Substituindo:
\binom{5}{3}=\frac{120}{6\cdot2}=\frac{120}{12}=10.
(Observação: também é rápido calcular \binom{5}{3}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.)

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 1 anestesista dentre 2:
\binom{2}{1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{2!}{1!1!}=\frac{2}{1}=2.
Isso faz sentido intuitivamente: escolher 1 entre 2 significa duas opções.

Passo 5

Calcular o número de maneiras de escolher 4 instrumentadores dentre 6. Podemos usar a propriedade de simetria \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, então:
\binom{6}{4}=\binom{6}{2}.
Agora calculamos \binom{6}{2}:
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=15.

Passo 6

Como as escolhas são independentes (escolher cardiologistas não interfere nas escolhas dos anestesistas nem dos instrumentadores), multiplicamos os números obtidos para cada grupo para achar o total de equipes possíveis:
\text{Total}=\binom{5}{3}\cdot\binom{2}{1}\cdot\binom{6}{4}=10\cdot2\cdot15.
Calculando:
10\cdot2=20,\qquad 20\cdot15=300.

Resposta

300

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