Esboce o gráfico da função utilizando as curvas de nível.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função usando as curvas de nível. A função dada é \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\;.
Informações relevantes fornecidas: \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; é a única informação matemática do enunciado. O objetivo é obter e desenhar as curvas de nível (contornos) dessa função no plano (x,y) — isto é, as curvas onde f(x,y) é constante.

Passo 2

O que são curvas de nível (lembrete bem didático)?
Definição: para um valor fixo \;c\in\mathbb{R}\;, a curva de nível correspondente é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid f(x,y)=c\}.
Isto significa: fixo um \;c\;, eu desenho no plano todos os pontos (x,y) que fazem com que \;x^{2}+y^{2}=c\;. Essas são as “linhas de contorno” da função.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função: escrever a equação da curva de nível para um \;c qualquer:
x^{2}+y^{2}=c.
Observação importante: como \;x^{2}\ge0\; e \;y^{2}\ge0\; para todo (x,y), o lado esquerdo é sempre \ge0. Logo, só existem curvas de nível para valores \;c\ge0\;. Para \;c<0\; não há pontos que satisfaçam a equação.

Passo 4

Interpretar geometricamente \;x^{2}+y^{2}=c\;: isso é a equação de um círculo centrado na origem. O raio desse círculo é
r=\sqrt{c}.
Casos especiais:
  • \;c=0\; \;x^{2}+y^{2}=0\; que é apenas o ponto (0,0) — círculo de raio \;0.
  • \;c>0\; dá um círculo de raio \;\sqrt{c} centrado em (0,0).

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo que eu faria na prova):
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y.
  2. Escolha alguns valores representativos de \;c\ge0\; para plotar. É prático escolher valores que resultem em raios inteiros: por exemplo \;c=0,1,4,9\; que dão raios \;r=0,1,2,3\;.
  3. Desenhe círculos concêntricos (mesmo centro) com esses raios e rotule cada círculo com o valor de \;c\; ou com o raio \;r.
    Isso gera um esboço de curvas de nível: uma família infinita de círculos concêntricos, cuja densidade e espaçamento dependem de como você escolhe os níveis \;c\;.

Passo 6

Interpretação em 3D (útil para entender por que as curvas são assim): a superfície z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} é um paraboloide circular que se abre para cima. Cortes horizontais z=c com planos \;z=c\; intersectam esse paraboloide em círculos de raio \sqrt{c}. Assim, as curvas de nível que desenhamos no plano (x,y) são exatamente essas interseções projetadas na base.

Passo 7

Um pouco de intuição sobre espaçamento dos contornos (sem complicar demais): se eu escolher níveis \;c\; igualmente espaçados em termos de c, os raios não ficam igualmente espaçados porque r=\sqrt{c}. Se eu quiser círculos com espaçamento radial constante, escolho c=r^{2} com r variando linearmente (foi isso que fiz em \;c=0,1,4,9\;).
Exemplo numérico rápido de verificação: o ponto (1,1) tem \;f(1,1)=1^{2}+1^{2}=2\;, portanto está na curva de nível com \;c=2\;, isto é, no círculo de raio \;\sqrt{2}\;.

Passo 8

Resumo prático para o esboço (o que desenhar de fato): desenhe vários círculos concêntricos com centro na origem; exemplos fáceis para rótulo:
  • círculo de raio \;0 ( c=0);
  • círculo de raio \;1 ( c=1);
  • círculo de raio \;2 ( c=4);
  • círculo de raio \;3 ( c=9).
    Anote que, globalmente, a família completa é \;x^{2}+y^{2}=c,\;c\ge0.

Resposta

As curvas de nível são os círculos concêntricos centrados na origem dados por \;x^{2}+y^{2}=c\; com \;c\ge0\;, isto é, círculos de raio \;\sqrt{c}.

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