Esboce o gráfico da função utilizando as curvas de nível.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função usando as curvas de nível. A função dada é
.
Informações relevantes fornecidas: é a única informação matemática do enunciado. O objetivo é obter e desenhar as curvas de nível (contornos) dessa função no plano
— isto é, as curvas onde
é constante.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que são curvas de nível (lembrete bem didático)?
Definição: para um valor fixo , a curva de nível correspondente é o conjunto
Definição: para um valor fixo
Isto significa: fixo um
, eu desenho no plano todos os pontos
que fazem com que
. Essas são as “linhas de contorno” da função.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função: escrever a equação da curva de nível para um
qualquer:
Observação importante: como
e
para todo
, o lado esquerdo é sempre
. Logo, só existem curvas de nível para valores
. Para
não há pontos que satisfaçam a equação.
Passo 4
Interpretar geometricamente
: isso é a equação de um círculo centrado na origem. O raio desse círculo é
Casos especiais:
-
dá que é apenas o ponto — círculo de raio . -
dá um círculo de raio centrado em .
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo que eu faria na prova):
- Desenhe os eixos coordenados
e . - Escolha alguns valores representativos de
para plotar. É prático escolher valores que resultem em raios inteiros: por exemplo que dão raios . - Desenhe círculos concêntricos (mesmo centro) com esses raios e rotule cada círculo com o valor de
ou com o raio .
Isso gera um esboço de curvas de nível: uma família infinita de círculos concêntricos, cuja densidade e espaçamento dependem de como você escolhe os níveis.
Passo 6
Interpretação em 3D (útil para entender por que as curvas são assim): a superfície
é um paraboloide circular que se abre para cima. Cortes horizontais
com planos
intersectam esse paraboloide em círculos de raio
. Assim, as curvas de nível que desenhamos no plano
são exatamente essas interseções projetadas na base.
Passo 7
Um pouco de intuição sobre espaçamento dos contornos (sem complicar demais): se eu escolher níveis
igualmente espaçados em termos de
, os raios não ficam igualmente espaçados porque
. Se eu quiser círculos com espaçamento radial constante, escolho
com
variando linearmente (foi isso que fiz em
).
Exemplo numérico rápido de verificação: o ponto tem
, portanto está na curva de nível com
, isto é, no círculo de raio
.
Exemplo numérico rápido de verificação: o ponto
Passo 8
Resumo prático para o esboço (o que desenhar de fato): desenhe vários círculos concêntricos com centro na origem; exemplos fáceis para rótulo:
- círculo de raio
( ); - círculo de raio
( ); - círculo de raio
( ); - círculo de raio
( ).
Anote que, globalmente, a família completa é.
Resposta
As curvas de nível são os círculos concêntricos centrados na origem dados por
com
, isto é, círculos de raio
.