(Pucrj) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria?
a) 6 maneiras
b) 7 maneiras
c) 8 maneiras
d) 9 maneiras
e) 10 maneiras
a) 6 maneiras
b) 7 maneiras
c) 8 maneiras
d) 9 maneiras
e) 10 maneiras
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria?”\n
Informações dadas: os sabores disponíveis são morango, chocolate, creme e flocos (quatro sabores distintos).\n
O pedido é o número de maneiras de escolher exatamente dois sabores diferentes para uma casquinha.
Informações dadas: os sabores disponíveis são morango, chocolate, creme e flocos (quatro sabores distintos).\n
O pedido é o número de maneiras de escolher exatamente dois sabores diferentes para uma casquinha.
Passo 2
Primeiro ponto importante para decidir: a ordem importa ou não? Ou seja, a casquinha “morango + chocolate” é a mesma que “chocolate + morango” na prova? Na maioria dos contextos de sorvetes, escolher os dois sabores significa que não importa qual está por cima ou por baixo — o par de sabores é o que conta. Então vamos tratar ordens diferentes como a mesma escolha (ordem não importa) e não permitimos repetição (os sabores devem ser diferentes).\n
Resumo da decisão: escolher 2 sabores distintos dentre 4, sem considerar ordem.
Resumo da decisão: escolher 2 sabores distintos dentre 4, sem considerar ordem.
Passo 3
Conceito que vamos usar: combinação sem ordem. Quando queremos escolher
itens distintos dentre
disponíveis, sem ligar para a ordem, usamos o número de combinações
Explicando a fórmula de forma simples:
(fatorial de
) é o produto
. A razão dessa fórmula é que
conta todas as permutações, mas dividimos por
porque não queremos distinguir ordens dentro dos
escolhidos e por
para retirar as permutações dos não escolhidos — o resultado final conta só os subconjuntos distintos de tamanho
.\n
No nosso caso, (sabores) e
(escolhemos dois sabores).
No nosso caso,
Passo 4
Aplicando a fórmula para
e
:
Agora calculemos os fatoriais passo a passo:
. Também
. Então
Passo 5
Como checagem intuitiva, podemos listar os pares distintos (sem ordem) e ver que são exatamente seis:
morango e chocolate; morango e creme; morango e flocos; chocolate e creme; chocolate e flocos; creme e flocos. São pares diferentes.
morango e chocolate; morango e creme; morango e flocos; chocolate e creme; chocolate e flocos; creme e flocos. São
Resposta
a)
maneiras