(Pucrj) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria?
a) 6 maneiras
b) 7 maneiras
c) 8 maneiras
d) 9 maneiras
e) 10 maneiras

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria?”\n
Informações dadas: os sabores disponíveis são morango, chocolate, creme e flocos (quatro sabores distintos).\n
O pedido é o número de maneiras de escolher exatamente dois sabores diferentes para uma casquinha.

Passo 2

Primeiro ponto importante para decidir: a ordem importa ou não? Ou seja, a casquinha “morango + chocolate” é a mesma que “chocolate + morango” na prova? Na maioria dos contextos de sorvetes, escolher os dois sabores significa que não importa qual está por cima ou por baixo — o par de sabores é o que conta. Então vamos tratar ordens diferentes como a mesma escolha (ordem não importa) e não permitimos repetição (os sabores devem ser diferentes).\n
Resumo da decisão: escolher 2 sabores distintos dentre 4, sem considerar ordem.

Passo 3

Conceito que vamos usar: combinação sem ordem. Quando queremos escolher k itens distintos dentre n disponíveis, sem ligar para a ordem, usamos o número de combinações
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando a fórmula de forma simples: n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. A razão dessa fórmula é que n! conta todas as permutações, mas dividimos por k! porque não queremos distinguir ordens dentro dos k escolhidos e por (n-k)! para retirar as permutações dos não escolhidos — o resultado final conta só os subconjuntos distintos de tamanho k.\n
No nosso caso, n=4 (sabores) e k=2 (escolhemos dois sabores).

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=4 e k=2:
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!}.
Agora calculemos os fatoriais passo a passo: 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24. Também 2! = 2\cdot1 = 2. Então
\binom{4}{2} = \frac{24}{2\cdot2} = \frac{24}{4} = 6.

Passo 5

Como checagem intuitiva, podemos listar os pares distintos (sem ordem) e ver que são exatamente seis:
morango e chocolate; morango e creme; morango e flocos; chocolate e creme; chocolate e flocos; creme e flocos. São 6 pares diferentes.

Resposta

a) 6 maneiras

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