(UFSM - PEIES/2001) Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y-2 z=1 \\\\ 2 y-3 z=4 \\\\ 4 y+a z=b\end{array}\right. onde a e b são números reais.
onde a e b são números reais. A tarefa (inferida do enunciado) é discutir as soluções do sistema dependendo dos valores de a e b: quando há solução única, quando há infinitas soluções e quando não há solução; e, nos casos em que houver solução(s), encontrar todas as soluções. As informações relevantes são exatamente as três equações acima e que a,b\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Observação importante (estratégia): as duas últimas equações envolvem somente y\) e \(z\). Isso significa que primeiro podemos resolver o sistema 2×2 formado por
\[\begin{cases} 2y-3z=4\\[4pt] 4y+az=b \end{cases}
para encontrar y\] e \(z (se possível). Depois, substituímos em x+y-2z=1 para obter x. Vou fazer isso por substituição/eliminação simples (método direto, sem usar notações pesadas).]
Passo 3
Começo isolando y na primeira das duas equações (a equação 2y-3z=4):
2y=4+3z \quad\Rightarrow\quad y=\frac{4+3z}{2}.
Agora substituo essa expressão em 4y+az=b:
4\cdot\frac{4+3z}{2}+az=b.
Calculo o primeiro termo:
4\cdot\frac{4+3z}{2}=2(4+3z)=8+6z.
Logo a equação fica
8+6z+az=b.
Passo 4
Agrupando os termos em z e isolando z:
(6+a)z=b-8.
Daí, se 6+a\neq0 (isto é, se a\neq-6), podemos dividir e obter
z=\frac{b-8}{a+6}.
Aqui expliquei passo a passo: somamos os coeficientes de z (que são 6 e a), e isolamos z. Note que o denominador é a+6, então precisamos de a\neq-6 para essa fórmula fazer sentido.
Passo 5
Com z encontrado, voltamos à expressão y=\dfrac{4+3z}{2}. Substituindo z=\dfrac{b-8}{a+6}:
y=\frac{4+3\cdot\frac{b-8}{a+6}}{2}.
Vou colocar em denominação comum e simplificar passo a passo:
Substituo as expressões de y e z já obtidas (para a\neq-6):
x=1-\frac{4a+3b}{2(a+6)}+2\cdot\frac{b-8}{a+6}.
Coloco sobre o mesmo denominador 2(a+6) e simplifico:
x=\frac{2(a+6)- (4a+3b) +4(b-8)}{2(a+6)}.
Calculo o numerador passo a passo:
2(a+6)=2a+12,
2a+12-(4a+3b)+4(b-8)=2a+12-4a-3b+4b-32=( -2a) + ( -20) + b = b-2a-20.
Logo
x=\frac{b-2a-20}{2(a+6)}.
Passo 7
Condição para solução única: todas as fórmulas acima para x,y,z exigem a\neq-6. Se a\neq-6 então o sistema reduzido em y,z tem determinante não-nulo (determinante =2a+12=2(a+6)), portanto há uma única solução para (y,z) e, consequentemente, uma única solução para (x,y,z). Resumindo: se a\neq-6 há solução única dada pelas fórmulas encontradas.
Passo 8
Agora analiso o caso crítico a=-6. Substituindo a=-6 na terceira equação obtemos
4y-6z=b.
Comparo essa equação com duas vezes a segunda equação 2y-3z=4, que é
2(2y-3z)=4\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad 4y-6z=8.
Portanto, quando a=-6 a terceira equação é 4y-6z=b e a segunda (multiplicada por 2) dá 4y-6z=8. Duas possibilidades:
Se b=8, então a terceira equação é exatamente igual a duas vezes a segunda: as equações 2 e 3 são dependentes (a mesma restrição), então só temos duas equações independentes no total (x+y-2z=1 e 2y-3z=4) para três incógnitas. Isso leva a infinitas soluções (uma família com 1 parâmetro).
Se b\neq8, então as equações 2 e 3 se contradizem (mesmo lado esquerdo, RHS distintos), então o sistema é inconsistente e não tem solução.
Passo 9
No caso a=-6 e b=8 (infinitas soluções), eu explico como parametrizar: deixe z livre como parâmetro t\in\mathbb{R}. Da segunda equação 2y-3z=4 temos