Classifique e resolva os sistemas:
a) \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=0 \\\ x+2 y+4 z=0 \\\ x-14 z=0\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}4 x-6 y=0 \\\\ 6 x-9 y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Classifique e resolva” dois sistemas lineares. Vou listar cada sistema e o que é preciso obter.
Sistema (a):
\begin{cases} 2x+3y-z=0,\\[4pt] x+2y+4z=0,\\[4pt] x-14z=0. \end{cases}
Sistema (b):
\begin{cases} 4x-6y=0,\\[4pt] 6x-9y=0. \end{cases}
Informações relevantes (tiradas diretamente do enunciado): ambos os sistemas são homogêneos (termos independentes iguais a 0). A tarefa é (1) classificar cada sistema (única solução, infinitas soluções ou impossível) e (2) apresentar a solução geral.]

Passo 2

Conceitos úteis e estratégia (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  • Um sistema homogêneo tem sempre a solução trivial x=0,\;y=0,\;z=0. Além disso, pode ter:
    • apenas a solução trivial (sistema com solução única), ou
    • infinitas soluções (dependência linear entre equações).
  • Classificação pela teoria das matrizes: se a matriz dos coeficientes A tem posto \operatorname{rank}(A)= número de incógnitas, então a solução é única (trivial, no caso homogêneo). Se \operatorname{rank}(A)< número de incógnitas, há infinitas soluções. Se fosse não homogêneo, haveria também o caso inconsistente quando o posto da matriz aumentasse ao considerar o termo independente; aqui ambos os sistemas são homogêneos, então não há caso inconsistente.
  • Método prático que vou usar: eliminação e substituição direta (quando uma equação isola uma incógnita é muito prático). Vou também, quando útil, checar determinante ou menores para justificar o posto.
Agora aplico estes conceitos aos sistemas.

Passo 3

Resolução e classificação do sistema (a).
  1. Começo olhando a terceira equação, que é simples:
x-14z=0.
Dela segue diretamente
x=14z.
Explicação: isolei x somando 14z em ambos os lados; é uma substituição direta que evita fazer eliminacão inteira com matriz.
  1. Substituo x=14z na segunda equação x+2y+4z=0:
14z+2y+4z=0.
Agora somo os termos em z:
2y+18z=0.
Isole y:
2y=-18z \quad\Rightarrow\quad y=-9z.
Explicação: dividi por 2 para achar y em função de z.
  1. Substituo x=14z e y=-9z na primeira equação 2x+3y-z=0 para verificar consistência:
2(14z)+3(-9z)-z = 28z-27z-z = 0.
O resultado é 0=0, identidade verdadeira. Isso mostra que a primeira equação é combinação linear das outras duas (ou ao menos não impõe nova restrição independente).
  1. Conclusão prática: há uma incógnita livre (por exemplo z), e as outras são funções de z. Parametrizo com t\in\mathbb{R}, tomando z=t. Então
x=14t,\qquad y=-9t,\qquad z=t.
Escrevendo em forma vetorial:
(x,y,z)=t(14,\,-9,\,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
  1. Classificação formal: como temos uma família infinita de soluções (parâmetro t), o sistema é homogêneo e tem infinitas soluções (sistema dependente). Posso justificar o posto: a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 2 & 4\\[4pt] 1 & 0 & -14 \end{pmatrix}.
O determinante de A é zero (fiz a conta e obtive \det(A)=0), então \operatorname{rank}(A)<3. Porém há um menor 2\times2 não-nulo (por exemplo o menor formado pelas duas primeiras linhas e primeiras duas colunas tem determinante 2\cdot2-3\cdot1=1\neq0), logo \operatorname{rank}(A)=2. Como o número de incógnitas é 3 e \operatorname{rank}(A)=2<3, há infinitas soluções com um parâmetro livre — exatamente o que encontramos.]

Passo 4

Resolução e classificação do sistema (b).
  1. Escrevo as duas equações:
4x-6y=0,\qquad 6x-9y=0.
Note que a segunda é múltiplo da primeira: multiplicando a primeira por \tfrac{3}{2} obtemos a segunda, porque
\tfrac{3}{2}\cdot 4x = 6x,\qquad \tfrac{3}{2}\cdot(-6y)=-9y.
Explicação: isso mostra que as duas equações representam a MESMA reta no plano (x,y); portanto não são independentes.
  1. Basta resolver uma delas, por exemplo 4x-6y=0. Dividindo por 2:
2x-3y=0.
Isole y:
-3y=-2x \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{2}{3}x.
  1. Parametrizo com um parâmetro s\in\mathbb{R}. Uma escolha que evita frações é deixar x=3s; então y=2s. Assim
(x,y)=s(3,2),\qquad s\in\mathbb{R}.
Ou, alternativamente, usando t=x como parâmetro,
(x,y)=(t,\tfrac{2}{3}t),\qquad t\in\mathbb{R}.
  1. Classificação formal: sistema homogêneo com duas equações dependentes -> posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=1 (menor 2\times2 tem determinante zero), menor que o número de incógnitas 2? Na verdade aqui número de incógnitas é 2 e \operatorname{rank}(A)=1<2, então há infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro livre. Concluímos sistema com infinitas soluções (dependente).

Resposta

(a) Sistema homogêneo com infinitas soluções. Solução geral: (x,y,z)=t(14,-9,1),\; t\in\mathbb{R}.
(b) Sistema homogêneo com infinitas soluções. Solução geral: (x,y)=s(3,2),\; s\in\mathbb{R}.

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