1. (UFSM - PEIES/ 2000) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}-x+y+z=1 \\\\ 2 x-y+z=2 \\\ x+3 y-2 z=2 \\\\ 3 x+y-2 z=5\end{array}\right.
    a) é possível e determinado.
    b) é possível e indeterminado.
    c) é impossível.
    d) tem a soma de suas soluções igual a 2 .

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} -x+y+z=1,\\[4pt] 2x-y+z=2,\\[4pt] x+3y-2z=2,\\[4pt] 3x+y-2z=5, \end{cases}
e pede qual das alternativas é verdadeira:
\text{(a) é possível e determinado.}\\\ \text{(b) é possível e indeterminado.}\\\ \text{\text{(c)} é impossível.}\\\ \text{(d) tem a soma de suas soluções igual a 2.}éíéíéíçõ
As informações relevantes são as quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z. A pergunta é sobre existência e natureza das soluções (nenhuma, uma só, ou infinitas) e a alternativa (d) propos um valor para a soma das soluções caso existam.]

Passo 2

Estratégia (curta e prática): vamos usar eliminação entre as equações para ver se existe uma solução que satisfaça todas quatro. Se encontrarmos uma contradição ao tentar satisfazer todas, o sistema é impossível. Vou fazer operações elementares entre equações (adições/substituições) — nada de jargão pesado, só somar/substituir para isolar incógnitas.

Passo 3

Primeiro combine as duas primeiras equações para eliminar x facilmente. Somando a equação 1 e a 2:
(-x+y+z)+(2x-y+z)=1+2.
No lado esquerdo os termos em x somam -x+2x=x, os em y somam y-y=0, os em z somam z+z=2z. No lado direito 1+2=3. Assim obtemos
x+2z=3.
Isolando x,
x=3-2z.

Passo 4

Substitua x=3-2z em uma das equações iniciais para relacionar y e z. Use a equação 1, -x+y+z=1:
-(3-2z)+y+z=1.
Desenvolvendo: -3+2z+y+z=1, isto é y+3z-3=1. Logo
y+3z=4.
Agora temos duas relações simples entre x,y,z:
x=3-2z,\qquad y=4-3z.

Passo 5

Use a terceira equação para determinar z. A equação 3 é x+3y-2z=2. Substitua x=3-2z e y=4-3z:
(3-2z)+3(4-3z)-2z=2.
Calcule passo a passo: 3-2z+12-9z-2z=2. Somando os termos constantes: 3+12=15. Somando os termos em z: -2z-9z-2z=-13z. Assim
15-13z=2.
Isolando z: -13z=2-15=-13, então
z=1.

Passo 6

Com z=1 volte às fórmulas para x e y:
x=3-2z=3-2\cdot 1=1,
y=4-3z=4-3\cdot 1=1.
Portanto as três primeiras equações são satisfeitas por (x,y,z)=(1,1,1). Faz sentido: checamos e vemos que as três primeiras dão solução única (1,1,1).

Passo 7

Agora verifique se essa solução também satisfaz a quarta equação 3x+y-2z=5. Substituindo (1,1,1) no lado esquerdo:
3\cdot 1 + 1 - 2\cdot 1 = 3+1-2=2.
O lado direito da equação 4 é 5. Como 2\neq 5, a solução que satisfaz as três primeiras não satisfaz a quarta. Portanto não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as quatro equações: houve uma contradição.

Passo 8

Interpretação final: o sistema é sobredeterminado (quatro equações para três incógnitas) e as equações não são compatíveis entre si — a quarta é incompatível com as outras três. Logo o sistema não tem solução. Isso exclui (a), (b) e (d). A alternativa correta é a que diz que o sistema é impossível.

Resposta

c) é impossível.

Exercícios relacionados