(UFSM-RS) Sejam as retas r: x+q y-1=0 e s: p x+5 y+2=0 duas retas perpendiculares entre si. Encontre o valor de \frac{p}{q}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas e diz que são perpendiculares. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Retas fornecidas:
    • r: x+q\,y-1=0.
    • s: p\,x+5\,y+2=0.
  • Informação: as retas r e s são perpendiculares entre si.
  • O que o enunciado pede: encontrar o valor de \dfrac{p}{q}.

Passo 2

Entender o que é “coeficiente angular” (inclinação) de uma reta escrita na forma a x + b y + c = 0.
  • Se uma reta está dada por a x + b y + c = 0, podemos isolar y: b\,y = -a\,x - c \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{a}{b}\,x - \frac{c}{b}.
  • Nessa forma, o coeficiente angular (ou inclinação, o “slope”) é m = -\dfrac{a}{b}.
  • Isto é só uma regra prática: coeficiente angular = negativo do coeficiente de x dividido pelo coeficiente de y.

Passo 3

Aplicar a regra do Passo 2 às retas dadas para encontrar seus coeficientes angulares.
  • Para r: x+q\,y-1=0, aqui a=1 e b=q. Então o coeficiente angular de r é m_r = -\frac{1}{q}.(Explicação rápida: reescrevendo, q\,y = 1 - x\Rightarrow y = -\dfrac{1}{q}x + \dfrac{1}{q}.)
  • Para s: p\,x+5\,y+2=0, aqui a=p e b=5. Então o coeficiente angular de s é m_s = -\frac{p}{5}.(Pois 5y = -p x -2 \Rightarrow y = -\dfrac{p}{5}x - \dfrac{2}{5}.)

Passo 4

Usar a condição de perpendicularidade entre retas.
  • A propriedade que vamos usar: duas retas no plano são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares vale -1. Ou seja, m_r \cdot m_s = -1.
  • Substituindo m_r e m_s: \left(-\frac{1}{q}\right)\left(-\frac{p}{5}\right) = -1.
  • Calcular o produto no lado esquerdo: \frac{p}{5q} = -1.

Passo 5

Isolar \dfrac{p}{q} e obter a resposta.
  • Multiplicando ambos os lados por 5: \frac{p}{q} = -5.
  • Interpretação rápida: o sinal negativo aparece naturalmente porque as inclinações têm sinais que, multiplicadas, resultam em -1.

Resposta

-5

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