Questão 3 (1,5 pontos) Dados os pontos A(1,2,3), B(3,6,9) e C(5,10,15), verifique se os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C} são paralelos. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,3), B(3,6,9) e C(5,10,15) e pede para verificar se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos, com justificativa.
Informações relevantes: coordenadas de A, B e C. A pergunta é uma única: “são \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} paralelos?”

Passo 2

Vamos calcular \overrightarrow{AB}. Lembre: o vetor que vai de A para B é obtido subtraindo as coordenadas de A das de B componente a componente. Ou seja,
\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\;6-2,\;9-3).
Fazendo as subtrações componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(2,\;4,\;6).

Passo 3

Agora calculamos \overrightarrow{AC} do mesmo modo:
\overrightarrow{AC}=C-A=(5-1,\;10-2,\;15-3),
portanto
\overrightarrow{AC}=(4,\;8,\;12).

Passo 4

Explicando a condição de paralelismo (aulas rápidas): dois vetores não nulos \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, existe um escalar k tal que \mathbf{v}=k\mathbf{u}. Em palavras: um vetor é um múltiplo escalar do outro. (Observação: se um dos vetores fosse o vetor nulo (0,0,0), ele é considerado paralelo a qualquer vetor; aqui ambos são não nulos.)

Passo 5

Testamos se existe um escalar k com \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}. Compare componente a componente:
\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{12}{6}=2.
As três razões coincidem e valem 2. Então podemos escrever explicitamente:
2\cdot(2,4,6)=(4,8,12),
ou seja,
\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB}.

Passo 6

Como encontramos um escalar k=2 tal que \overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB}, isso satisfaz a condição de paralelismo explicada no Passo 4. (Se quiser confirmar de outra forma, o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} dá o vetor nulo; cálculo:)
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 4 & 8 & 12 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(4\cdot12-6\cdot8)-\mathbf{j}(2\cdot12-6\cdot4)+\mathbf{k}(2\cdot8-4\cdot4)=\mathbf{0},
o que também indica paralelismo.

Resposta

Sim. \overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB}, portanto \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos.

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