Escreva a equação geral da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a \frac{2}{3} \mathrm{e}-1.

Passo 1

O enunciado pede: escrever a equação geral da reta cuja inclinação (coeficiente angular) e intercepto em y (coeficiente linear) são, respectivamente, iguais a \dfrac{2}{3} e -1.
Informações fornecidas:
  • Coeficiente angular: m=\dfrac{2}{3}.
  • Coeficiente linear: b=-1.

Passo 2

Entender as formas usuais de escrever uma reta (pequena revisão didática).
  • A forma reduzida (ou forma inclinacao-intercepto) da reta é
y = m x + b,
onde:
  • y e x são as variáveis do plano cartesiano;
  • m é o coeficiente angular (a inclinação): diz quanto y varia quando x aumenta uma unidade;
  • b é o coeficiente linear (intercepto em y): é o valor de y quando x=0.
Exemplo rápido para fixar: se y=2x+1, então m=2 (subida de 2 em y a cada +1 em x) e b=1 (quando x=0, y=1).
  • A forma geral (ou forma padrão) da reta é
A x + B y + C = 0,
onde A, B, C são constantes reais (preferivelmente inteiros) e nem todos A e B são zero. Essa forma é útil para representar a reta sem frações.

Passo 3

Colocar os valores dados na forma reduzida. Substituindo m=\dfrac{2}{3} e b=-1 em y=mx+b, obtemos
y = \dfrac{2}{3}x - 1.

Passo 4

Converter a equação para a forma geral A x + B y + C = 0.
Partindo de \;y = \dfrac{2}{3}x - 1\;, primeiro eliminamos a fração multiplicando ambos os lados por 3:
3y = 2x - 3.
Agora colocamos todos os termos no lado esquerdo para obter a forma geral:
2x - 3y - 3 = 0.
Aqui A=2, B=-3 e C=-3. É comum escolher os coeficientes inteiros com A\ge 0; essa escolha já satisfaz isso.

Passo 5

Verificação rápida (para ter confiança na resposta):
  • Se x=0, da equação \;2x-3y-3=0\; vem -3y-3=0\Rightarrow y=-1, que confirma b=-1.
  • Isolando y em \;2x-3y-3=0\; obtemos -3y=-2x+3\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}x-1, que confirma m=\dfrac{2}{3}.
Pronto — a equação geral está correta.

Resposta

2x-3y-3=0

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