(UFU-2010) Considere o polinômio de variável real p(x)=(x-1) \cdot\left(x^{2}-2\right) \cdot\left(x^{3}-4\right) \cdot\left(x^{4}\right. -8) .\left(x^{5}-16\right) \ldots\left(x^{15}-16384\right). Então, o grau de p e o valor de p(2) são, respectivamente:
A) 120 e 2^{1 / 2}
B) 136 e 2^{112}
C) 136 e 2^{105}
D) 120 e 2^{105}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=(x-1)\cdot(x^{2}-2)\cdot(x^{3}-4)\cdot(x^{4}-8)\cdots(x^{15}-16384).
Os pedidos são dois:
  • o grau de p;
  • o valor de p(2).
Informações úteis que vemos no enunciado:
  • o fator de grau k é (x^{k}-\text{algo}) para k=1,2,\dots,15;
  • o último termo tem 16384, e 16384=2^{14};
  • percebemos o padrão (x^{k}-2^{\,k-1}) para k=1,\dots,15 (pois 1=2^{0},\;2=2^{1},\;4=2^{2},\dots,16384=2^{14}).

Passo 2

Calcular o grau de p.
Lembrete rápido: o grau de um produto de polinômios é a soma dos graus dos fatores. Aqui cada fator (x^{k}-2^{\,k-1}) tem grau k. Então o grau de p é
\sum_{k=1}^{15} k.
Fórmula para a soma dos n primeiros inteiros: \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}. Aplicando com n=15 obtemos
\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15\cdot 16}{2} = 15\cdot 8 = 120.
Portanto o grau de p é 120.
(Dica rápida sobre a fórmula: pode-se obter \frac{n(n+1)}{2} emparelhando termos 1+n,\;2+(n-1), etc., cada par soma n+1 e há n/2 pares quando n é par — aqui 15 é ímpar, mas a fórmula vale para todo n.)

Passo 3

Calcular p(2).
Substituindo x=2 em cada fator (x^{k}-2^{\,k-1}) temos, para cada k,
2^{k}-2^{\,k-1}=2^{\,k-1}\bigl(2-1\bigr)=2^{\,k-1}.
Logo
p(2)=\prod_{k=1}^{15}\bigl(2^{k}-2^{\,k-1}\bigr)=\prod_{k=1}^{15}2^{\,k-1}.
Produto de potências de 2 corresponde a soma dos expoentes:
\prod_{k=1}^{15}2^{\,k-1}=2^{\sum_{k=1}^{15}(k-1)}.
Note que \sum_{k=1}^{15}(k-1)=\sum_{k=1}^{15}k -15. Já calculamos \sum_{k=1}^{15}k=120, então
\sum_{k=1}^{15}(k-1)=120-15=105.
Portanto
p(2)=2^{105}.
(Um pequeno teste: se tivéssemos só os três primeiros fatores (x-1)(x^{2}-2)(x^{3}-4) e substituíssemos x=2, obteríamos 2^{0}\cdot2^{1}\cdot2^{2}=2^{3}, que coincide com a regra geral.)

Passo 4

Resumindo os resultados obtidos: o grau de p é 120 e p(2)=2^{105}. Entre as alternativas dadas, a que apresenta esse par de valores é a correta.

Resposta

D) 120 e 2^{105}

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