(UFU-2010) Considere o polinômio de variável real
. Então, o grau de p e o valor de
são, respectivamente:
A) 120 e
B) 136 e
C) 136 e
D) 120 e
A) 120 e
B) 136 e
C) 136 e
D) 120 e
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
Os pedidos são dois:
- o grau de
; - o valor de
.
Informações úteis que vemos no enunciado:
- o fator de grau
é para ; - o último termo tem
, e ; - percebemos o padrão
para (pois ).
Passo 2
Calcular o grau de
.
Lembrete rápido: o grau de um produto de polinômios é a soma dos graus dos fatores. Aqui cada fator
tem grau
. Então o grau de
é
Fórmula para a soma dos
primeiros inteiros:
. Aplicando com
obtemos
Portanto o grau de
é
.
(Dica rápida sobre a fórmula: pode-se obter
emparelhando termos
etc., cada par soma
e há
pares quando
é par — aqui
é ímpar, mas a fórmula vale para todo
.)
Passo 3
Calcular
.
Substituindo
em cada fator
temos, para cada
,
Logo
Produto de potências de
corresponde a soma dos expoentes:
Note que
. Já calculamos
, então
Portanto
(Um pequeno teste: se tivéssemos só os três primeiros fatores
e substituíssemos
, obteríamos
, que coincide com a regra geral.)
Passo 4
Resumindo os resultados obtidos: o grau de
é
e
. Entre as alternativas dadas, a que apresenta esse par de valores é a correta.
Resposta
D)
e