Considere a seqüência \left\{A_{n}\right\} cujo n-ésimo termo é dado pela fórmula
A_{n}=P\left(1+\frac{r}{12}\right)^{n}
onde P é o depósito inicial, A_{n} é o saldo da aplicação após n meses e r é a taxa de juros anual.
(a) Verifique se \left(A_{n}\right) é convergente.
(b) Encontre os dez primeiros termos da sequiência no caso em que P=\mathrm{R} \ 9.000,00 er=$ 0,115.

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
A_{n}=P\left(1+\frac{r}{12}\right)^{n},
onde P é o depósito inicial, A_{n} é o saldo após n meses e r é a taxa de juros anual. O problema pergunta:
(a) Verificar se a sequência \left(A_{n}\right) é convergente (isto é, existe \lim_{n\to\infty}A_n?).
(b) No caso P=\mathrm{R}\$\;9.000,00 e r=0,115, encontrar os dez primeiros termos da sequência (ou seja, A_1,A_2,\dots,A_{10}).
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula do termo geral: \;A_{n}=P\left(1+\dfrac{r}{12}\right)^{n}.
  • Valores do item (b): \;P=\mathrm{R}\$\;9.000,00 e \;r=0,115.

Passo 2

Reconhecer a sequência: escrever q para a razão da sequência geométrica
q=1+\frac{r}{12}.
Então a sequência é geométrica do tipo
A_n = P\,q^{n}.
Breve aula prática sobre sequências geométricas e convergência:
  • Uma sequência geométrica B_n = B_0\,q^{n} tem comportamento totalmente determinado pelo valor absoluto de q.
    • Se |q|<1, então q^{n}\to 0 quando n\to\infty, logo B_n\to 0.
    • Se q=1, então B_n=B_0 é constante e converge para B_0.
    • Se |q|>1, então |q|^{n}\to\infty quando n\to\infty; se q>1 então q^{n}\to+\infty; se q<-1 então a sequência diverge oscilando de sinal.
    • Se q=-1 e B_0\neq0, a sequência alterna entre B_0 e -B_0 e não converge.
  • Aplicando isto à nossa sequência A_n = P q^{n}, o limite quando n\to\infty existe somente nas situações acima:
    • Se |q|<1 então \lim_{n\to\infty}A_n=0.
    • Se q=1 então \lim_{n\to\infty}A_n=P.
    • Caso contrário (|q|>1, ou q=-1 com P\neq0), a sequência diverge.
Determinar a condição em termos de r. A condição |q|<1 é
\left|1+\frac{r}{12}\right|<1.
Resolver a desigualdade:
-1<1+\frac{r}{12}<1
-2<\frac{r}{12}<0
-24<r<0.
Portanto, em termos de r:
  • Se -24<r<0 então \lim_{n\to\infty}A_n=0.
  • Se r=0 então \lim_{n\to\infty}A_n=P.
  • Se r>0 então q>1 e A_n\to+\infty (a sequência diverge para mais infinito, assumindo P>0).
  • Se r\le -24 ou r<-24 haverá outros comportamentos (por exemplo q\le-1) que implicam divergência ou oscilação; esses casos são raros em contexto de juros, mas matematicamente existem.

Passo 3

Aplicando ao caso numérico fornecido P=\mathrm{R}\$\;9.000,00 e r=0,115:
  • Calcular a razão q:
q=1+\frac{r}{12}=1+\frac{0,115}{12}=\frac{12+0,115}{12}=\frac{12,115}{12}=\frac{12115}{12000}\approx1,009583333\ldots
Como q>1 (porque r>0), a sequência diverge para +\infty quando n\to\infty: os saldos crescem indefinidamente (crescimento exponencial). Logo, para este r a sequência não é convergente.

Passo 4

Como o enunciado do item (b) pede os dez primeiros termos, vamos calculá‑los. Método prático: usar a relação recursiva da geométrica
A_{1}=Pq,\qquad A_{n+1}=A_{n}\,q.
Começamos por A_{1} e aplicamos sucessivas multiplicações por q. Usaremos arredondamento a centavos (duas casas decimais) ao final de cada termo porque são valores monetários.
Dados: P=\mathrm{R}\$\;9.000,00, q=\dfrac{12115}{12000}\approx1,009583333\ldots.
Cálculos:
A_{1}=9000\cdot q=9000\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.086,25.
A_{2}=A_{1}\,q\approx9.086,25\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.173,33.
A_{3}=A_{2}\,q\approx9.173,33\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.261,24.
A_{4}=A_{3}\,q\approx9.261,24\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.349,99.
A_{5}=A_{4}\,q\approx9.349,99\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.439,60.
A_{6}=A_{5}\,q\approx9.439,60\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.530,06.
A_{7}=A_{6}\,q\approx9.530,06\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.621,39.
A_{8}=A_{7}\,q\approx9.621,39\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.713,59.
A_{9}=A_{8}\,q\approx9.713,59\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.806,68.
A_{10}=A_{9}\,q\approx9.806,68\cdot1,009583333\ldots=\mathrm{R}\$\;9.900,66.
Observação final e incentivo: a técnica usada é sempre a mesma — identificar q, aplicar A_{n}=Pq^{n} ou recursivamente A_{n+1}=A_n q. Em prova, deixar a expressão exata A_n=9000\left(\dfrac{12115}{12000}\right)^{n} também é uma boa resposta analítica, e para valores monetários arredonde com duas casas decimais.

Resposta

(a) A sequência é geométrica com razão q=1+\dfrac{r}{12}. Ela converge apenas se \left|1+\dfrac{r}{12}\right|<1, isto é, se -24<r<0; nesse caso \lim_{n\to\infty}A_n=0. Se r=0 então \lim_{n\to\infty}A_n=P. Para r>0 (caso de juros positivos) tem q>1 e A_n\to+\infty (diverge).
(b) Com P=\mathrm{R}\$\;9.000,00 e r=0,115 (logo q\approx1,009583333):
A_{1}= \mathrm{R}\$\;9.086,25
A_{2}= \mathrm{R}\$\;9.173,33
A_{3}= \mathrm{R}\$\;9.261,24
A_{4}= \mathrm{R}\$\;9.349,99
A_{5}= \mathrm{R}\$\;9.439,60
A_{6}= \mathrm{R}\$\;9.530,06
A_{7}= \mathrm{R}\$\;9.621,39
A_{8}= \mathrm{R}\$\;9.713,59
A_{9}= \mathrm{R}\$\;9.806,68
A_{10}= \mathrm{R}\$\;9.900,66

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