Efetua-se um depósito mensal de \mathrm{R} \ 100,00 em uma conta que rende12 %$ de juros anuais capitalizados mensalmente.

Passo 1

O enunciado fornece estas informações:
  • Depósito mensal de \mathrm{R}\$\,100{,}00 (valor constante a cada mês).
  • Taxa nominal anual de 12\% com capitalização mensal.
O enunciado não especifica o que exatamente devo calcular. Não foi informado:
  • o número de depósitos / o período total (por exemplo: 12 meses, 60 meses, n meses etc.);
  • se cada depósito é efetuado no fim do mês (anuidade ordinária) ou no início do mês (anuidade antecipada);
  • se o objetivo é calcular o valor futuro acumulado, o valor presente equivalente, ou o tempo necessário para atingir um objetivo.
Sem essa informação o problema está incompleto e não há um único número final a fornecer.

Passo 2

Converter a taxa anual para taxa mensal (passo imprescindível).
  • A taxa nominal anual é 12\% com capitalização mensal. Isso significa que a taxa mensal i é a taxa anual dividida por 12:
i = \frac{12\%}{12} = 1\% = 0{,}01.
Explanação curta: como a capitalização é mensal, transformamos a taxa anual em taxa por período (mês) dividindo por 12. Aqui i é a taxa aplicada em cada mês.

Passo 3

Definir variáveis e o que queremos calcular (forma geral, útil para a prova).
  • Denotar o valor do depósito mensal por A. Aqui A = \mathrm{R}\$\,100{,}00.
  • Denotar o número total de depósitos por n (número de meses).
  • Denotar a taxa mensal por i (já calculada em i=0{,}01).
  • O objetivo mais comum é o valor futuro acumulado após n depósitos; denote-o por FV.
Explicação didática: em problemas de séries de depósitos regulares (anuidade), o resultado depende só de A, i e n. Sem n não se obtém um valor numérico único.

Passo 4

Derivar a fórmula do valor futuro para depósitos efetuados no fim de cada mês (anuidade ordinária).
  • Raciocínio passo a passo: o primeiro depósito (no fim do mês 1) ficará aplicado por n-1 meses até o final do período de n meses, o segundo por n-2 meses, …, o último depósito (no fim do mês n) não rende juros (ficou 0 meses).
  • Assim o valor futuro é soma geométrica:
FV = A(1+i)^{n-1} + A(1+i)^{n-2} + \cdots + A(1+i)^1 + A(1+i)^0.
  • Fatorando A e reconhecendo soma geométrica:
FV = A\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k.
  • Soma da progressão geométrica dá a fórmula conhecida:
FV = A\frac{(1+i)^n - 1}{i}.
Cada símbolo:
  • A = depósito periódico ( \mathrm{R}\$\,100{,}00),
  • i = taxa por período ( 0{,}01),
  • n = número de depósitos (períodos),
  • FV = valor acumulado ao final do período.

Passo 5

Caso os depósitos sejam no início de cada mês (anuidade antecipada), a fórmula muda pouco — é apenas a anuidade ordinária multiplicada por (1+i).
  • Fórmula para anuidade antecipada:
FV_{\text{antecipada}} = A\frac{(1+i)^n - 1}{i}\,(1+i).
Explicação intuitiva: cada depósito foi aplicado um mês a mais em relação ao caso ordinário, por isso multiplicar por (1+i).

Passo 6

Fórmulas úteis relacionadas (podem cair na prova):
  • Valor presente (PV) de uma anuidade ordinária:
PV = A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Para anuidade antecipada, multiplicar o PV por (1+i):
PV_{\text{antecipada}} = A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,(1+i).
  • Para resolver por n quando se conhece FV alvo: isolar (1+i)^n e aplicar logaritmo:
(1+i)^n = 1 + \frac{i\,FV}{A}\quad\Rightarrow\quad n = \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{i\,FV}{A}\right)}{\ln(1+i)}.
Explicação: isso responde questões tipo “quantos meses preciso para acumular R$X?”.

Passo 7

Exemplos numéricos ilustrativos (para ver como aplicar; estes são exemplos, não resposta ao enunciado que você mandou porque faltou n):
  • Exemplo 1: se n=12 meses (um ano), com A=\mathrm{R}\$\,100 e i=0{,}01:
(1+i)^{12} \approx 1{,}01^{12} \approx 1{,}126825\quad\Rightarrow\quad FV \approx 100\cdot\frac{1{,}126825-1}{0{,}01}=100\cdot12{,}6825=\mathrm{R}\$\,1\,268{,}25.
Isso significa: depositando R$100 ao fim de cada mês durante 12 meses a 12% a.a. (mensal), chega-se a aproximadamente R$1.268,25.
  • Exemplo 2: se n=120 meses (10 anos):
1{,}01^{120}\approx 3{,}30039\quad\Rightarrow\quad FV \approx 100\cdot\frac{3{,}30039-1}{0{,}01}=100\cdot230{,}039=\mathrm{R}\$\,23\,003{,}90.
Para anuidade antecipada multiplicar por 1{,}01: por exemplo, o caso de 12 meses antecipada daria cerca de \mathrm{R}\$\,1\,281{,}93.
Observação didática: esses números foram obtidos usando aproximações de potências; em prova normalmente pode ser pedido para montar a fórmula e calcular com calculadora financeira ou usando logs conforme permitido.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (pequena força moral, você consegue!):
  • Verifique se a taxa fornecida é nominal com capitalização mensal (como aqui): converta sempre para taxa por período dividindo por 12.
  • Use n no mesmo sentido que a taxa (meses com taxa mensal).
  • Determine se o depósito é no início ou no fim do período e escolha a fórmula correta.
  • Escreva a fórmula geral primeiro; só depois plugue números. Assim evita erro de conversão.
  • Se pedirem inversão (calcular n dado FV), use a fórmula do Passo 6 com logaritmos.

Resposta

Não é possível determinar um único valor final — falta especificar o número de depósitos n (período) e se os depósitos são no fim do mês (anuidade ordinária) ou no início do mês (anuidade antecipada).

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