Efetua-se um depósito mensal de
100,00
12 %$ de juros anuais capitalizados mensalmente.
Passo 1
O enunciado fornece estas informações:
- Depósito mensal de
(valor constante a cada mês). - Taxa nominal anual de
com capitalização mensal.
O enunciado não especifica o que exatamente devo calcular. Não foi informado:
- o número de depósitos / o período total (por exemplo:
meses, meses, meses etc.); - se cada depósito é efetuado no fim do mês (anuidade ordinária) ou no início do mês (anuidade antecipada);
- se o objetivo é calcular o valor futuro acumulado, o valor presente equivalente, ou o tempo necessário para atingir um objetivo.
Sem essa informação o problema está incompleto e não há um único número final a fornecer.
Passo 2
Converter a taxa anual para taxa mensal (passo imprescindível).
- A taxa nominal anual é
com capitalização mensal. Isso significa que a taxa mensal é a taxa anual dividida por :
Explanação curta: como a capitalização é mensal, transformamos a taxa anual em taxa por período (mês) dividindo por 12. Aqui
é a taxa aplicada em cada mês.
Passo 3
Definir variáveis e o que queremos calcular (forma geral, útil para a prova).
- Denotar o valor do depósito mensal por
. Aqui . - Denotar o número total de depósitos por
(número de meses). - Denotar a taxa mensal por
(já calculada em ). - O objetivo mais comum é o valor futuro acumulado após
depósitos; denote-o por .
Explicação didática: em problemas de séries de depósitos regulares (anuidade), o resultado depende só de
,
e
. Sem
não se obtém um valor numérico único.
Passo 4
Derivar a fórmula do valor futuro para depósitos efetuados no fim de cada mês (anuidade ordinária).
- Raciocínio passo a passo: o primeiro depósito (no fim do mês 1) ficará aplicado por
meses até o final do período de meses, o segundo por meses, …, o último depósito (no fim do mês ) não rende juros (ficou 0 meses). - Assim o valor futuro é soma geométrica:
- Fatorando
e reconhecendo soma geométrica:
- Soma da progressão geométrica dá a fórmula conhecida:
Cada símbolo:
-
= depósito periódico ( ), -
= taxa por período ( ), -
= número de depósitos (períodos), -
= valor acumulado ao final do período.
Passo 5
Caso os depósitos sejam no início de cada mês (anuidade antecipada), a fórmula muda pouco — é apenas a anuidade ordinária multiplicada por
.
- Fórmula para anuidade antecipada:
Explicação intuitiva: cada depósito foi aplicado um mês a mais em relação ao caso ordinário, por isso multiplicar por
.
Passo 6
Fórmulas úteis relacionadas (podem cair na prova):
- Valor presente (PV) de uma anuidade ordinária:
- Para anuidade antecipada, multiplicar o
por :
- Para resolver por
quando se conhece alvo: isolar e aplicar logaritmo:
Explicação: isso responde questões tipo “quantos meses preciso para acumular R$X?”.
Passo 7
Exemplos numéricos ilustrativos (para ver como aplicar; estes são exemplos, não resposta ao enunciado que você mandou porque faltou
):
- Exemplo 1: se
meses (um ano), com e :
Isso significa: depositando R$100 ao fim de cada mês durante 12 meses a 12% a.a. (mensal), chega-se a aproximadamente R$1.268,25.
- Exemplo 2: se
meses (10 anos):
Para anuidade antecipada multiplicar por
: por exemplo, o caso de 12 meses antecipada daria cerca de
.
Observação didática: esses números foram obtidos usando aproximações de potências; em prova normalmente pode ser pedido para montar a fórmula e calcular com calculadora financeira ou usando logs conforme permitido.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (pequena força moral, você consegue!):
- Verifique se a taxa fornecida é nominal com capitalização mensal (como aqui): converta sempre para taxa por período dividindo por 12.
- Use
no mesmo sentido que a taxa (meses com taxa mensal). - Determine se o depósito é no início ou no fim do período e escolha a fórmula correta.
- Escreva a fórmula geral primeiro; só depois plugue números. Assim evita erro de conversão.
- Se pedirem inversão (calcular
dado ), use a fórmula do Passo 6 com logaritmos.
Resposta
Não é possível determinar um único valor final — falta especificar o número de depósitos
(período) e se os depósitos são no fim do mês (anuidade ordinária) ou no início do mês (anuidade antecipada).