Uitilize a derivação implícita para determinar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} :
y z+x \ln (z)=z^{2}

Passo 1

O enunciado define z implicitamente pela equação
y\,z + x\ln(z) = z^2,
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} usando derivação implícita. Vamos tratar F(x,y,z)=0 e aplicar a fórmula
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=y\,z + x\ln(z) - z^2.
Para usar a fórmula acima, precisamos calcular as parciais F_x, F_y e F_z, tratando z como variável independente.

Passo 3

Calculamos cada parcial:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,z + x\ln(z) - z^2\bigr) = \ln(z),
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,z + x\ln(z) - z^2\bigr) = z,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\,z + x\ln(z) - z^2\bigr) = y + \frac{x}{z} - 2z.

Passo 4

Aplicando a fórmula de derivação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{\ln(z)}{\,y + \frac{x}{z} - 2z\,}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{z}{\,y + \frac{x}{z} - 2z\,}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\ln(z)}{y + \frac{x}{z} - 2z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z}{y + \frac{x}{z} - 2z}.

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