Questão 2. Um foguete é disparado verticalmente para cima e sobe com aceleração constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} durante 150 s. Após este tempo, o motor do foguete é descartado, e o foguete continua subindo por um tempo até parar, devido a aceleração da gravidade contrária ao seu movimento. Finalmente o foguete atinge a altitude máxima, para e começa a cair em queda livre de volta ao solo.
a) (5 pontos) Qual é a altitude que o foguete atinge enquanto está sob ação do motor?
b) ( 8 pontos) Qual a altitude máxima (percurso com e sem motor) que o foguete atinge acima do solo?
c) (4 pontos) Quanto tempo ele leva para atingir esta altura máxima?
d) (4 pontos) Quanto tempo ele leva para voltar ao solo em queda livre?
e) (4 pontos) Qual sua velocidade justo antes de atingir o solo?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • O foguete é lançado do solo com velocidade inicial \,v_0=0\\ \mathrm{m/s}\, (parte implícita em “disparado” a partir do solo).
    • Durante o tempo em que o motor funciona, a aceleração é constante \,a_{\text{motor}}=2\\ \mathrm{m/s^2}\,.
    • O tempo de funcionamento do motor é \,t_1=150\\ \mathrm{s}\,.
    • Após o motor ser descartado, a única aceleração que atua é a gravidade, apontando para baixo; usaremos \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\,.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a altitude que o foguete atinge enquanto está sob ação do motor?
    (b) Qual a altitude máxima que o foguete atinge acima do solo (considerando subida com motor + subida após motor)?
    (c) Quanto tempo ele leva para atingir essa altura máxima?
    (d) Quanto tempo ele leva para voltar ao solo em queda livre (do ápice até o solo)?
    (e) Qual sua velocidade justo antes de atingir o solo?
Observação: a resolução começará a partir do próximo passo, usando as fórmulas do movimento uniformemente acelerado e física básica.

Passo 2

Primeiro objetivo prático: achar a velocidade do foguete no instante em que o motor é descartado (final dos 150\\ \mathrm{s}). Fórmulas e variáveis:
  • Fórmula de velocidade para movimento com aceleração constante:
v = v_0 + a\,t,
onde v é a velocidade no tempo t, v_0 é a velocidade inicial, a é a aceleração (positiva para cima neste problema) e t é o intervalo decorrido.
Aplicando ao nosso caso:
v_1 = v_0 + a_{\text{motor}}\,t_1.
Substituindo números (peguei a_{\text{motor}} e t_1 do enunciado e v_0=0):
v_1 = 0 + 2\cdot150 = 300\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, no corte do motor a velocidade do foguete é \,v_1=300\\ \mathrm{m/s} para cima.

Passo 3

Agora calculo a altitude atingida enquanto o motor atua (ou seja, o deslocamento vertical durante os 150\\ \mathrm{s}).
  • Fórmula do deslocamento para movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial v_0:
\Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \Delta y é o deslocamento vertical em t.
Como v_0=0 no lançamento e a aceleração é a_{\text{motor}}=2\\ \mathrm{m/s^2}, o deslocamento durante o motor (chamarei de s_1) é
s_1 = \tfrac{1}{2} a_{\text{motor}} t_1^2.
Substituindo:
s_1 = \tfrac{1}{2}\cdot2\cdot(150)^2 = 1\cdot22500 = 22500\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o foguete sobe 22500\\ \mathrm{m} enquanto o motor está ligado. Isso responde a letra (a).

Passo 4

Agora calculo quanto ele sobe depois de o motor ser descartado até o momento em que a velocidade sobe torna-se zero (ápice). Neste trecho a aceleração é apenas a gravidade, apontando para baixo, então a_{\text{após}} = -g = -9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}ó. O foguete inicia esse trecho com velocidade v_1=300\\ \mathrm{m/s} para cima.
  • Uso a fórmula que relaciona velocidade e deslocamento sem envolver tempo:
v^2 = v_1^2 + 2 a \Delta y.
No ápice v=0, a=-g, e \Delta y=s_2 (o acréscimo de altura após o corte do motor). Então:
0 = v_1^2 + 2(-g)\,s_2 \quad\Rightarrow\quad s_2 = \frac{v_1^2}{2g}.
Substituindo v_1=300\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (peguei esses valores do passo 2 e da convenção de g):
s_2 = \frac{300^2}{2\cdot9{,}8} = \frac{90000}{19{,}6} \approx 4591{,}8367347\\ \mathrm{m}.
A altitude máxima total H acima do solo é a soma do que subiu com motor s_1 e do que subiu após o corte s_2:
H = s_1 + s_2 = 22500 + 4591{,}8367347 \approx 27091{,}8367347\\ \mathrm{m}.
Portanto a altitude máxima é aproximadamente \,27091{,}84\\ \mathrm{m}. Isso responde a letra (b).

Passo 5

Tempo gasto desde o corte do motor até o ápice (parte do percurso sem motor):
  • Fórmula velocidade-tempo com aceleração constante:
v = v_1 + a\,t.
Queremos o t_2 tal que v=0, com a=-g:
0 = v_1 - g\,t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{v_1}{g}.
Substituindo v_1=300\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t_2 = \frac{300}{9{,}8} \approx 30{,}6122449\\ \mathrm{s}.
O tempo total para atingir a altura máxima desde o lançamento é o tempo com motor t_1 mais esse tempo t_2:
t_{\text{até máximo}} = t_1 + t_2 = 150 + 30{,}6122449 \approx 180{,}6122449\\ \mathrm{s}.éá
Portanto o foguete leva aproximadamente \,180{,}61\\ \mathrm{s} para alcançar a altitude máxima. Isso responde a letra (c).

Passo 6

Tempo de queda livre do ápice até o solo (letra d).
No ápice a velocidade inicial da queda é zero e a altura a descer é H. Usamos a equação do deslocamento em queda livre:
H = \tfrac{1}{2} g\,t_{\text{queda}}^2.
Isolando t_{\text{queda}}:
t_{\text{queda}} = \sqrt{\frac{2H}{g}}.
Substituindo H\approx27091{,}8367347\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t_{\text{queda}} = \sqrt{\frac{2\cdot27091{,}8367347}{9{,}8}} \approx \sqrt{5537{,}5264797} \approx 74{,}4309\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo de queda livre do ápice ao solo é cerca de \,74{,}43\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Velocidade justo antes de atingir o solo (letra e).
Do ápice até o solo a velocidade final pode ser obtida por duas maneiras equivalentes. Usarei a fórmula da conservação cinemática:
v_{\text{solo}}^2 = v_{\text{ápice}}^2 + 2 g H.á
Como v_{\text{ápice}}=0á, temos
v_{\text{solo}} = -\sqrt{2 g H}.
O sinal negativo indica direção para baixo (escolhi sinal positivo para cima). Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e H\approx27091{,}8367347\\ \mathrm{m}:
v_{\text{solo}} = -\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot27091{,}8367347} = -\sqrt{531000}\approx -728{,}69\\ \mathrm{m/s}.
(Nota numérica: o valor dentro da raiz é praticamente 531000, o que dá essa velocidade.)
Portanto, imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade do foguete tem módulo aproximado \,728{,}69\\ \mathrm{m/s} dirigida para baixo.

Resposta

(a) 22500\\ \mathrm{m}
(b) 27091{,}84\\ \mathrm{m} (aprox.)
(c) 180{,}61\\ \mathrm{s} (150 s com motor + 30{,}61\\ \mathrm{s} após o corte)
(d) 74{,}43\\ \mathrm{s}
(e) -728{,}69\\ \mathrm{m/s} (para baixo, módulo 728{,}69\\ \mathrm{m/s})

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