Questão 1. Um carro, viajando com uma velocidade constante de
, passa por um cruzamento no tempo
. Neste mesmo instante, um segundo carro no cruzamento, inicia o movimento com uma aceleração constante de
, na mesma direção.
a) ( 9 pontos) Determine em qual instante de tempo o segundo carro alcançará o primeiro.
b) ( 8 pontos) Determine em qual instante de tempo a velocidade do segundo carro será igual a velocidade do primeiro carro.
c) ( 8 pontos) Determine qual a velocidade do segundo carro quando os dois carros estiverem lado a lado?
a) ( 9 pontos) Determine em qual instante de tempo o segundo carro alcançará o primeiro.
b) ( 8 pontos) Determine em qual instante de tempo a velocidade do segundo carro será igual a velocidade do primeiro carro.
c) ( 8 pontos) Determine qual a velocidade do segundo carro quando os dois carros estiverem lado a lado?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados que peguei do enunciado:
- Um carro (vou chamar de carro 1) passa pelo cruzamento no instante
com velocidade constante . - No mesmo instante
há um segundo carro (chamado carro 2) no cruzamento que inicia o movimento com aceleração constante , na mesma direção do carro 1. - Não foi dito outro deslocamento inicial para o carro 2, portanto assumimos que ambos estão no mesmo ponto (o cruzamento) em
.
- Um carro (vou chamar de carro 1) passa pelo cruzamento no instante
- O que o enunciado pede:
a) Determinar o instante de tempo em que o carro 2 alcançará o carro 1 (isto é, quando estiverem na mesma posição novamente para).
b) Determinar o instante de tempo em que a velocidade do carro 2 será igual à velocidade do carro 1.
c) Determinar a velocidade do carro 2 no instante em que os dois carros estiverem lado a lado (isto é, na mesma posição do item a).
Passo 2
Escolha de referência e definições de variáveis (muito importante para a prova):
- Escolho a posição do cruzamento como origem do sistema:
quando . - Defino as variáveis:
-
= tempo contado a partir de (unidade: ). -
= posição do carro 1 em função do tempo (unidade: ). -
= posição do carro 2 em função do tempo (unidade: ). -
= velocidade constante do carro 1 (unidade: ), dado . -
= velocidade do carro 2 em função do tempo (unidade: ). -
= aceleração constante do carro 2 (unidade: ), dado .
-
- Condições iniciais (em
): -
(carro 1 passa pelo cruzamento). -
(carro 2 está no cruzamento e inicia o movimento). -
(assumimos que o carro 2 parte do repouso ao “iniciar o movimento”).
-
Passo 3
Equação do movimento do carro 1 (movimento retilíneo uniforme):
- Para movimento com velocidade constante, a posição é uma função linear do tempo:
- Substituindo
, obtemos:
- Aqui
é a velocidade constante do carro 1 (já sabemos ).
Passo 4
Equações do movimento do carro 2 (movimento com aceleração constante, parte do repouso):
- Para aceleração constante e velocidade inicial
, a velocidade e posição são dadas por:
- Como
e , simplificam para:
- Explicação rápida das fórmulas:
vem da definição de aceleração constante como taxa de variação da velocidade; vem de integrar a velocidade em relação ao tempo, usando .
Passo 5
Resolução do item (a): instante em que o carro 2 alcança o carro 1.
- Condição de encontro: posições iguais para
:
- Substituindo as expressões das passagens anteriores:
- Essa é uma equação em
. Colocando todos os termos de um lado:
- Fatorando
:
- As soluções são
(o encontro trivial no instante inicial, quando os dois estão no cruzamento) e a solução não-trivial dada por
- Substituindo os valores numéricos
e :
- Em forma decimal:
Passo 6
Resolução do item (b): instante em que
.
- Igualamos a velocidade do carro 2 com a do carro 1:
- Usando
, obtemos
- Substituindo números:
Passo 7
Resolução do item (c): velocidade do carro 2 quando os dois estão lado a lado (usar o tempo do item a).
- A velocidade do carro 2 é
. - No instante de encontro
, a velocidade do carro 2 vale
- Substituindo
:
- Observação rápida e encorajadora: faz sentido físico — no momento em que ele alcança, o carro 2 já passou o carro 1 em velocidade (
contra ), porque para alcançar e ultrapassar precisou acelerar bastante.
Passo 8
Pequena verificação numérica (para a prova é bom checar):
- Posição dos dois em
: -
. -
.
-
- Como
, a solução está consistente.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)