Questão 1. Um carro, viajando com uma velocidade constante de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, passa por um cruzamento no tempo t=0. Neste mesmo instante, um segundo carro no cruzamento, inicia o movimento com uma aceleração constante de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, na mesma direção.
a) ( 9 pontos) Determine em qual instante de tempo o segundo carro alcançará o primeiro.
b) ( 8 pontos) Determine em qual instante de tempo a velocidade do segundo carro será igual a velocidade do primeiro carro.
c) ( 8 pontos) Determine qual a velocidade do segundo carro quando os dois carros estiverem lado a lado?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Um carro (vou chamar de carro 1) passa pelo cruzamento no instante t=0 com velocidade constante \;v_1=20\\ \mathrm{m/s}.
    • No mesmo instante t=0 há um segundo carro (chamado carro 2) no cruzamento que inicia o movimento com aceleração constante \;a=3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}, na mesma direção do carro 1.
    • Não foi dito outro deslocamento inicial para o carro 2, portanto assumimos que ambos estão no mesmo ponto (o cruzamento) em t=0.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar o instante de tempo em que o carro 2 alcançará o carro 1 (isto é, quando estiverem na mesma posição novamente para t>0).
    b) Determinar o instante de tempo em que a velocidade do carro 2 será igual à velocidade do carro 1.
    c) Determinar a velocidade do carro 2 no instante em que os dois carros estiverem lado a lado (isto é, na mesma posição do item a).

Passo 2

Escolha de referência e definições de variáveis (muito importante para a prova):
  • Escolho a posição do cruzamento como origem do sistema: x=0 quando t=0.
  • Defino as variáveis:
    • t = tempo contado a partir de t=0 (unidade: \mathrm{s}).
    • x_1(t) = posição do carro 1 em função do tempo (unidade: \mathrm{m}).
    • x_2(t) = posição do carro 2 em função do tempo (unidade: \mathrm{m}).
    • v_1 = velocidade constante do carro 1 (unidade: \mathrm{m/s}), dado \;v_1=20\\ \mathrm{m/s}.
    • v_2(t) = velocidade do carro 2 em função do tempo (unidade: \mathrm{m/s}).
    • a = aceleração constante do carro 2 (unidade: \mathrm{m/s^2}), dado \;a=3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Condições iniciais (em t=0):
    • x_1(0)=0 (carro 1 passa pelo cruzamento).
    • x_2(0)=0 (carro 2 está no cruzamento e inicia o movimento).
    • v_2(0)=0 (assumimos que o carro 2 parte do repouso ao “iniciar o movimento”).

Passo 3

Equação do movimento do carro 1 (movimento retilíneo uniforme):
  • Para movimento com velocidade constante, a posição é uma função linear do tempo:
x_1(t)=x_{1}(0)+v_1 t.
  • Substituindo x_{1}(0)=0, obtemos:
x_1(t)=v_1 t.
  • Aqui v_1 é a velocidade constante do carro 1 (já sabemos \;v_1=20\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Equações do movimento do carro 2 (movimento com aceleração constante, parte do repouso):
  • Para aceleração constante e velocidade inicial v_2(0), a velocidade e posição são dadas por:
v_2(t)=v_2(0)+a t,
x_2(t)=x_2(0)+v_2(0)\,t+\tfrac{1}{2} a t^2.
  • Como v_2(0)=0 e x_2(0)=0, simplificam para:
v_2(t)=a t,
x_2(t)=\tfrac{1}{2} a t^2.
  • Explicação rápida das fórmulas: \;v_2(t)=a t vem da definição de aceleração constante como taxa de variação da velocidade; \;x_2(t)=\tfrac{1}{2} a t^2 vem de integrar a velocidade em relação ao tempo, usando v_2(0)=0.

Passo 5

Resolução do item (a): instante em que o carro 2 alcança o carro 1.
  • Condição de encontro: posições iguais para t>0:
x_1(t)=x_2(t).
  • Substituindo as expressões das passagens anteriores:
v_1 t = \tfrac{1}{2} a t^2.
  • Essa é uma equação em t. Colocando todos os termos de um lado:
\tfrac{1}{2} a t^2 - v_1 t = 0.
  • Fatorando t:
t\left(\tfrac{1}{2} a t - v_1\right)=0.
  • As soluções são t=0 (o encontro trivial no instante inicial, quando os dois estão no cruzamento) e a solução não-trivial dada por
\tfrac{1}{2} a t - v_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2 v_1}{a}.
  • Substituindo os valores numéricos \;v_1=20\\ \mathrm{m/s} e \;a=3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}:
t=\frac{2\cdot 20}{3{,}0}=\frac{40}{3}\\ \mathrm{s}.
  • Em forma decimal:
t=\frac{40}{3}\\ \mathrm{s}\approx 13{,}33\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resolução do item (b): instante em que v_2(t)=v_1.
  • Igualamos a velocidade do carro 2 com a do carro 1:
v_2(t)=v_1.
  • Usando v_2(t)=a t, obtemos
a t = v_1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_1}{a}.
  • Substituindo números:
t=\frac{20}{3{,}0}=\frac{20}{3}\\ \mathrm{s}\approx 6{,}66\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Resolução do item (c): velocidade do carro 2 quando os dois estão lado a lado (usar o tempo do item a).
  • A velocidade do carro 2 é v_2(t)=a t.
  • No instante de encontro t_{\text{encontro}}=\dfrac{40}{3}\\ \mathrm{s}, a velocidade do carro 2 vale
v_2\!\left(\frac{40}{3}\right)=a\cdot\frac{40}{3}.
  • Substituindo a=3{,}0\\ \mathrm{m/s^2}:
v_2\!\left(\frac{40}{3}\right)=3{,}0\cdot\frac{40}{3}=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação rápida e encorajadora: faz sentido físico — no momento em que ele alcança, o carro 2 já passou o carro 1 em velocidade ( 40\\ \mathrm{m/s} contra 20\\ \mathrm{m/s}), porque para alcançar e ultrapassar precisou acelerar bastante.

Passo 8

Pequena verificação numérica (para a prova é bom checar):
  • Posição dos dois em t=\dfrac{40}{3}\\ \mathrm{s}:
    • x_1=\;v_1 t = 20\cdot\frac{40}{3}=\frac{800}{3}\\ \mathrm{m}.
    • x_2=\tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot\left(\frac{40}{3}\right)^2 = \frac{3}{2}\cdot\frac{1600}{9}=\frac{2400}{18}=\frac{800}{3}\\ \mathrm{m}.
  • Como x_1=x_2, a solução está consistente.

Resposta

a) t=\dfrac{40}{3}\\ \mathrm{s}\approx 13{,}33\\ \mathrm{s}
b) t=\dfrac{20}{3}\\ \mathrm{s}\approx 6{,}67\\ \mathrm{s}
c) v_2=40\\ \mathrm{m/s}

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