Ar úmido encontra-se a 70^{\circ} \mathrm{C}, com umidade relativa igual a 50,5 \% e pressão atmosférica normal (condição A). A mistura gasosa, então, é resfriada até a sua temperatura de ponto de orvalho (condição B). O processo de resfriamento deve ser mantido até a mistura alcançar 40^{\circ} \mathrm{C} (condição C ), sendo removida do sistema toda a água condensada durante o resfriamento abaixo da temperatura de ponto de orvalho. Em seguida, o ar é aquecido novamente até 70^{\circ} \mathrm{C} (condição D). Com base nessas informações, determine:
a) A umidade absoluta da mistura na condição inicial.
b) A temperatura de ponto de orvalho do ar úmido na condição inicial.
c) A umidade absoluta, a umidade relativa e a temperatura de ponto de orvalho na condição final.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes condições iniciais e pede três coisas.
Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial do ar úmido: \,T_A = 70^\circ\mathrm{C}\,.
  • Umidade relativa inicial: \,\varphi_A = 50{,}5\%\; (ou seja \,0{,}505, em fração).
  • Pressão atmosférica normal: \,p = 1\\ \mathrm{atm} = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}\,.
  • O ar é resfriado até o ponto de orvalho (condição B), depois continua a ser resfriado até \,40^\circ\mathrm{C} (condição C), com toda a água condensada sendo removida, e por fim é reaquecido até \,70^\circ\mathrm{C} (condição D).
Perguntas:
a) Determinar a umidade absoluta da mistura na condição inicial (ou seja, a razão massa de vapor por massa de ar seco).
b) Determinar a temperatura de ponto de orvalho do ar úmido na condição inicial.
c) Determinar, na condição final (após resfriamento até 40^\circ\mathrm{C}, remoção do condensado, e reaquecimento a 70^\circ\mathrm{C}):
  • a umidade absoluta,
  • a umidade relativa,
  • a temperatura de ponto de orvalho.

Passo 2

O que é “umidade absoluta” que vamos calcular (definição e fórmula):
  • Aqui vamos usar a definição usual na engenharia: a umidade absoluta (ou razão de mistura, também chamada “humidity ratio”) é a massa de vapor d’água por massa de ar seco, normalmente dada em \,\mathrm{kg\;vapor}/\mathrm{kg\;ar\;seco}\,. Denotamos por \,w.
  • A relação entre a pressão parcial do vapor \,p_v e \,w é
w = \frac{0{,}622\,p_v}{p - p_v},
onde \,0{,}622 é a razão das massas molares \,M_{v}/M_{d} (aprox.\ \,18{,}016/28{,}966) e \,p e \,p_v estão na mesma unidade (kPa aqui).
Como obter \,p_v a partir da umidade relativa:
  • A pressão de vapor real é \,p_v = \varphi \, e_s(T), onde \,e_s(T) é a pressão de saturação do vapor sobre a água líquida à temperatura T.
Fórmula prática para \,e_s(T) (fórmula de Magnus, precisa e simples para engenharia):
e_s(T) = 0{,}61094\;\exp\!\left(\frac{17{,}625\,T}{T + 243{,}04}\right)\quad\text{(kPa), com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\).}
Agora calculamos passo a passo para a condição inicial ( T_A = 70^\circ\mathrm{C}, \varphi_A = 0{,}505).
Cálculo de \,e_s(70^\circ\mathrm{C}):
e_s(70) = 0{,}61094\;\exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot70}{70 + 243{,}04}\right).
Computando os valores dentro:
\frac{17{,}625\cdot70}{70 + 243{,}04} \approx 3{,}94306,
\exp(3{,}94306) \approx 51{,}577,
e_s(70) \approx 0{,}61094 \times 51{,}577 \approx 31{,}524\\ \mathrm{kPa}.
Pressão parcial de vapor na condição A:
p_{v,A} = \varphi_A\,e_s(70) = 0{,}505 \times 31{,}524 \approx 15{,}914\\ \mathrm{kPa}.
Usando a fórmula de w:
w_A = \frac{0{,}622\;p_{v,A}}{p - p_{v,A}} = \frac{0{,}622 \times 15{,}914}{101{,}325 - 15{,}914}.
Calculando numericamente:
\text{numerador} \approx 9{,}904,\qquad \text{denominador} \approx 85{,}411,
w_A \approx 0{,}11597\\ \mathrm{kg\;vapor}/\mathrm{kg\;ar\;seco} \approx 0{,}116\\ \mathrm{kg/kg}.
Observação de unidade: muitas vezes se expressa também em g/kg; aqui \,0{,}116\\ \mathrm{kg/kg} = 116\\ \mathrm{g/kg}.

Passo 3

Como encontrar a temperatura de ponto de orvalho (dew point) a partir de \,p_v:
  • O ponto de orvalho é a temperatura \,T_{dp} tal que a pressão de saturação àquela temperatura seja igual à pressão parcial do vapor atual:
e_s(T_{dp}) = p_v.
  • Usamos a forma inversa da fórmula de Magnus. Uma forma prática é
T_{dp} = \frac{243{,}04\;\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}{17{,}625 - \ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}.
Aplicando com \,p_{v,A} \approx 15{,}914\\ \mathrm{kPa}:
\ln\!\left(\frac{15{,}914}{0{,}61094}\right) \approx \ln(26{,}059) \approx 3{,}2599,
T_{dp} \approx \frac{243{,}04 \times 3{,}2599}{17{,}625 - 3{,}2599} = \frac{792{,}18}{14{,}3651} \approx 55{,}15^\circ\mathrm{C}.
Portanto o ponto de orvalho inicial é cerca de \,55{,}15^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Entendendo o processo de resfriamento e remoção de condensado:
  • Ao resfriar o ar úmido desde 70^\circ\mathrm{C}, a pressão parcial do vapor \,p_v permanece constante até atingir o ponto de orvalho; nesse instante começa a condensação.
  • Ao continuar resfriando abaixo do ponto de orvalho (até 40^\circ\mathrm{C}), o vapor em excesso condensa e é removido do sistema. Isso faz com que a nova pressão parcial do vapor, após remoção do condensado e estabilização a 40^\circ\mathrm{C}, seja igual à pressão de saturação à 40^\circ\mathrm{C}, ou seja:
p_{v,C} = e_s(40^\circ\mathrm{C}).
  • Assim, a umidade absoluta após o resfriamento (condição C) é calculada usando \,p_{v,C} na fórmula de w.
Calcular \,e_s(40^\circ\mathrm{C}) com Magnus:
e_s(40) = 0{,}61094\;\exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot40}{40 + 243{,}04}\right).
Computando:
\frac{17{,}625\cdot40}{283{,}04} \approx 2{,}4918,\quad \exp(2{,}4918)\approx 12{,}088,
e_s(40) \approx 0{,}61094 \times 12{,}088 \approx 7{,}379\\ \mathrm{kPa}.
Agora a umidade absoluta em C:
w_C = \frac{0{,}622\;e_s(40)}{p - e_s(40)} = \frac{0{,}622 \times 7{,}379}{101{,}325 - 7{,}379}.
Calculando numericamente:
\text{numerador} \approx 4{,}588,\qquad \text{denominador} \approx 93{,}946,
w_C \approx 0{,}04884\\ \mathrm{kg/kg} \approx 48{,}84\\ \mathrm{g/kg}.
Observações sobre a condição C:
  • A pressão parcial do vapor em C é \,p_{v,C} = 7{,}379\\ \mathrm{kPa}.
  • O ponto de orvalho correspondente a essa pressão de vapor é exatamente 40^\circ\mathrm{C} (pois escolhemos p_{v,C}=e_s(40)).

Passo 5

Reaquecimento desde 40^\circ\mathrm{C} até 70^\circ\mathrm{C} (condição D), sem acrescentar ou retirar vapor:
  • Ao aquecer o ar seco e com a mesma quantidade de vapor (remoção do condensado já feita), a razão w permanece constante: w_D = w_C.
  • O que muda é a umidade relativa \varphi, porque \varphi = p_v / e_s(T) e e_s(T) aumenta com a temperatura.
Cálculo da umidade relativa na condição final (D, T_D = 70^\circ\mathrm{C}):
  • A pressão parcial do vapor na condição D continua sendo \,p_{v,D} = p_{v,C} = 7{,}379\\ \mathrm{kPa}.
  • e_s(70) foi calculado no Passo 2: e_s(70) \approx 31{,}524\\ \mathrm{kPa}.
  • Logo
\varphi_D = \frac{p_{v,D}}{e_s(70)} = \frac{7{,}379}{31{,}524} \approx 0{,}2341 \approx 23{,}41\%.
Temperatura de ponto de orvalho na condição final:
  • O ponto de orvalho depende apenas de p_v; como p_{v,D} = p_{v,C} = e_s(40), o ponto de orvalho final continua sendo 40^\circ\mathrm{C}.
Resumo do que mudou e do que ficou constante no processo:
  • A umidade absoluta diminuiu (de \approx 0{,}116 para \approx 0{,}04884 kg/kg) porque parte do vapor condensou e foi removida.
  • Ao reaquecermos, a razão w permaneceu \approx 0{,}04884 kg/kg.
  • A umidade relativa caiu para cerca de \,23{,}4\% ao levar esse ar a 70^\circ\mathrm{C}.
  • O ponto de orvalho final é \,40^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) w_A = 0{,}116\\ \mathrm{kg\;vapor}/\mathrm{kg\;ar\;seco} (ou 116\\ \mathrm{g/kg}).
(b) T_{dp,A} \approx 55{,}15^\circ\mathrm{C}.
(c) w_D = 0{,}04884\\ \mathrm{kg\;vapor}/\mathrm{kg\;ar\;seco};\\ \varphi_D \approx 23{,}41\%;\\ T_{dp,D} = 40^\circ\mathrm{C}.

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