O ar atmosférico em uma localidade ao nível do mar é tomado a 25^{\circ} \mathrm{C} com umidade relativa de 50 \%, é aquecido até 40^{\circ} \mathrm{C} e depois saturado sem troca de calor com o meio, em processo adiabático em um dispositivo saturador. Assim, responda:
a) Qual a umidade relativa após o aquecimento?
b) Qual a taxa calor adicionado ao fluxo de ar em kW ?
c) Qual a quantidade de vapor de água adicionado ao fluxo de ar em \mathrm{kg} / \mathrm{h} ?
d) Qual a temperatura do ar após a saturação?
e) Esquematize o processo em uma carta psicrométrica.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é fornecido):\n
  • Ar ao nível do mar, pressão total p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (valor padrão).\n
  • Condição inicial do ar: temperatura seca T_1=25^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \phi_1=50\%.\n
  • O ar é aquecido até T_2=40^\circ\mathrm{C} sem mudança de conteúdo de vapor (ou seja, a razão de mistura W permanece a mesma durante o aquecimento).\n
  • Depois é saturado em um dispositivo saturador adiabático (evaporação de água para o ar, sem troca de calor com o meio). Esse processo aumenta W até o valor de saturação correspondente à temperatura final T_3 e reduz a temperatura do ar; o processo é adiabático (entropia não é pedida, mas a energia total por kg de ar seco — entalpia — é conservada no tratamento usual).\n
  • O que se pede:\n a) umidade relativa após o aquecimento (em %);\n b) taxa de calor adicionada ao fluxo de ar em \mathrm{kW};\n c) quantidade de vapor de água adicionada ao fluxo em \mathrm{kg/h};\n d) temperatura do ar após a saturação T_3;\n e) esquematizar o processo numa carta psicrométrica (descrever o caminho no diagrama).\n
  • Informação que o enunciado não forneceu: vazão mássica do ar seco. Para dar respostas numéricas para (b) e (c) é necessário assumir uma vazão. Vou assumir a convenção usual para problemas desse tipo: \dot m_a=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} de ar seco (apresentarei resultados por essa vazão; é fácil escalar para outra vazão).\n
  • Convenções e constantes que usarei (valores padrão e explicações são importantes):\n - Pressão total p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.\n - Fórmula de pressão de vapor de saturação (equação de Magnus — ótima para engenharia HVAC):\n \;p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\\ \text{(kPa)},\n onde T é em ^\circ\mathrm{C}. Vou usar essa fórmula para obter p_{ws} em cada temperatura.\n - Razão de mistura (ou umidade absoluta) W em \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}:\n \;W=0{,}622\frac{p_v}{p-p_v},\n onde p_v é a pressão parcial do vapor (kPa) e p é a pressão total (kPa). O fator 0{,}622 é a razão de massas molares aproximada da água e do ar seco.\n - Entalpia do ar úmido por kg de ar seco (forma usada em HVAC, com T em ^\circ\mathrm{C}):\n \;h = c_{pa}\,T + W\,(2501 + c_{pw}\,T)\\ \text{(kJ/kg ar seco)},\n onde c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é calor específico do ar seco e c_{pw}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é calor específico do vapor d’água; 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é a entalpia latente aproximada da vaporização a 0^\circ\mathrm{C} (usada como referência padrão nesta fórmula).\n - Para aquecimento sem adição de vapor, a razão de mistura W permanece constante; para a saturação adiabática a entalpia por kg de ar seco é conservada (adiabático: h antes = h depois, considerando base por kg de ar seco).\n\nA partir daqui, vou calcular passo a passo (com explicações didáticas) todas as quantidades pedidas.

Passo 2

Calcular a pressão de saturação do vapor à temperatura inicial T_1=25^\circ\mathrm{C} e a pressão parcial do vapor inicial.\n
  • Usamos a equação de Magnus explicada no passo 1.\n
  • Cálculo de p_{ws}(25^\circ\mathrm{C}):\n p_{ws}(25)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot25}{25+237{,}3}\right).\n
Agora computando numericamente: o expoente é \frac{17{,}27\cdot25}{262{,}3}\approx1{,}6465, \exp(1{,}6465)\approx5{,}187. Logo\n p_{ws}(25)\approx0{,}61078\times5{,}187\approx3{,}17\\ \mathrm{kPa}.\n
  • Como a umidade relativa inicial é \phi_1=50\%=0{,}50, a pressão parcial do vapor inicial é\n p_{v1}=\phi_1\,p_{ws}(25)=0{,}50\times3{,}17\approx1{,}585\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a razão de mistura (umidade absoluta) inicial W_1.\n
  • Usamos a fórmula\n W=0{,}622\frac{p_v}{p-p_v}.\n
Substituindo p_v=p_{v1}=1{,}585\\ \mathrm{kPa} e p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}:\n W_1=0{,}622\frac{1{,}585}{101{,}325-1{,}585} =0{,}622\frac{1{,}585}{99{,}740}\approx0{,}00988\\ \mathrm{kg/kg}.\n
Interpretação: isso significa cerca de 9{,}88 gramas de vapor por kg de ar seco.

Passo 4

Calcular a umidade relativa após o aquecimento até T_2=40^\circ\mathrm{C} (resposta do item a)).\n
  • Durante o aquecimento sem adição de vapor a pressão parcial p_v permanece igual a p_{v1}=1{,}585\\ \mathrm{kPa}.\n- Primeiro obtenho p_{ws}(40^\circ\mathrm{C}) com Magnus:\n p_{ws}(40)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot40}{40+237{,}3}\right).\n
Calculando: expoente \approx2{,}492, \exp(2{,}492)\approx12{,}09. Então\n p_{ws}(40)\approx0{,}61078\times12{,}09\approx7{,}378\\ \mathrm{kPa}.\n
  • A umidade relativa na nova temperatura é\n \phi_2=\frac{p_{v1}}{p_{ws}(40)}=\frac{1{,}585}{7{,}378}\approx0{,}2148\approx21{,}5\%.\n
Comentário didático: aquecer o ar mantém a mesma quantidade de vapor, mas aumenta a capacidade máxima de vapor do ar (pressão de saturação), logo a umidade relativa cai — por isso é comum o ar aquecido ficar “mais seco” em relação ao que o corpo ou plantas percebem.

Passo 5

Calcular a taxa de calor adicionada ao fluxo de ar para aquecê-lo de 25^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C} (item b)).\n
  • A razão de mistura W permanece W_1 durante o aquecimento, então a variação de entalpia por kg de ar seco é apenas a parte sensível do ar seco e do vapor já presente:\n \Delta h = c_{pa}(T_2-T_1) + W_1\,c_{pw}(T_2-T_1).\n
Explicando: o ar seco (massa base 1 kg ar seco) tem calor sensível c_{pa}\Delta T; o vapor que já está presente (massa W_1 kg) também se aquece, com calor específico c_{pw}. Não há troca de fase nesse aquecimento inicial, logo nenhum termo latente entra aqui.\n
  • Substituindo valores: c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{pw}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, \Delta T=40-25=15\\ \mathrm{K}, W_1=0{,}00988:\n \Delta h = 1{,}005\cdot15 + 0{,}00988\cdot1{,}86\cdot15.\n
Calculemos os termos:\n 1{,}005\cdot15=15{,}075\\ \mathrm{kJ/kg},\n 0{,}00988\cdot1{,}86\cdot15 \approx0{,}2755\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
Logo\n \Delta h \approx15{,}3505\\ \mathrm{kJ/(kg\\ ar\\ seco)}.\n
  • Para a vazão assumida \dot m_a=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} a potência térmica requerida é\n \dot Q=\dot m_a\Delta h =1{,}0\\ \mathrm{kg/s}\times15{,}3505\\ \mathrm{kJ/kg}=15{,}3505\\ \mathrm{kJ/s}=15{,}35\\ \mathrm{kW}.\n
Interpretação: para cada \mathrm{kg/s} de ar seco que passa, são necessários aproximadamente 15{,}35\\ \mathrm{kW} para o aquecimento de 25^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Energia e balanço adiabático no saturador — equacionar a conservação de entalpia para encontrar a temperatura final T_3 (item d)).\n
  • Em um saturador adiabático (evaporador de água em contato com ar), a energia é conservada por kg de ar seco: a entalpia do ar úmido antes do saturador h_2 (após aquecimento a 40^\circ\mathrm{C}) é igual à entalpia do ar úmido saturado depois h_3. Assim:\n h_2 = h_3.\n
  • Usamos a expressão de entalpia do ar úmido (passo 1):\n h(T,W)=c_{pa}T + W(2501 + c_{pw}T).\n
No ponto 2 (antes da saturação) temos T_2=40^\circ\mathrm{C} e W_2=W_1=0{,}00988. Calculamos h_2:\n h_2 = 1{,}005\cdot40 + 0{,}00988\cdot(2501 + 1{,}86\cdot40).\n
  • Calculemos os termos:\n 1{,}005\cdot40 = 40{,}20\\ \mathrm{kJ/kg},\n 2501 + 1{,}86\cdot40 = 2501 + 74{,}4 = 2575{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},\n 0{,}00988\cdot2575{,}4 \approx25{,}44\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
Portanto\n h_2 \approx40{,}20 + 25{,}44 = 65{,}64\\ \mathrm{kJ/(kg\\ ar\\ seco)}.

Passo 7

Expressar a condição final (saturado) e resolver numericamente para T_3.\n
  • No ponto 3 (final, saturado) temos W_3=W_{s}(T_3), ou seja, a razão de mistura correspondente à saturação à temperatura T_3:\n W_s(T)=0{,}622\frac{p_{ws}(T)}{p-p_{ws}(T)}.\n
  • A entalpia final é função de T_3 somente:\n h_3(T_3)=1{,}005\,T_3 + W_s(T_3)\bigl(2501 + 1{,}86\,T_3\bigr).\n
A equação a resolver é\n h_3(T_3)=h_2=65{,}64.\n
  • Esse é um problema implícito (pois W_s depende de p_{ws}(T_3) que depende exponencialmente de T_3). Vou resolver por tentativa (método numérico simples) com valores de teste e interpolação, mostrando os passos (é exatamente como se faria numa prova sem calculadora: testar alguns pontos e interpolar):\n - Teste T=20^\circ\mathrm{C}: p_{ws}(20)\approx2{,}338\\ \mathrm{kPa} (pela fórmula de Magnus), W_s\approx0{,}01469. Então\n h_3(20)\approx1{,}005\cdot20 + 0{,}01469\cdot(2501+1{,}86\cdot20)\approx57{,}39\\ \mathrm{kJ/kg}.\n (menor que 65{,}64: precisa temperatura maior)\n - Teste T=24^\circ\mathrm{C}: p_{ws}(24)\approx2{,}990\\ \mathrm{kPa}, W_s\approx0{,}01892. Então\n h_3(24)\approx24{,}12 + 0{,}01892\cdot2545{,}64\approx72{,}27\\ \mathrm{kJ/kg}.\n (maior que 65{,}64: a solução está entre 20^\circ\mathrm{C} e 24^\circ\mathrm{C}).\n - Teste T=22^\circ\mathrm{C}: cálculo semelhante dá h_3(22)\approx64{,}46\\ \mathrm{kJ/kg} (ainda um pouco menor que 65{,}64).\n - Teste T=22{,}5^\circ\mathrm{C}: h_3(22{,}5)\approx66{,}29\\ \mathrm{kJ/kg} (um pouco maior que 65{,}64).\n\n- Interpolando linearmente entre 22{,}0^\circ\mathrm{C} e 22{,}5^\circ\mathrm{C}:\n diferença de entalpia entre os extremos: 66{,}29-64{,}46=1{,}83\\ \mathrm{kJ/kg}.\n precisamos de 65{,}64-64{,}46=1{,}18\\ \mathrm{kJ/kg} acima de h_3(22). Fração =1{,}18/1{,}83\approx0{,}645.\n Portanto T_3\approx22{,}0 + 0{,}645\cdot0{,}5\approx22{,}32^\circ\mathrm{C}.\n\n- Com T_3\approx22{,}32^\circ\mathrm{C} obtém‑se p_{ws}(22{,}32)\approx2{,}692\\ \mathrm{kPa} e\n W_3=W_s(22{,}32)\approx0{,}01697\\ \mathrm{kg/kg}.\nComentário prático: o ar saindo saturado fica bem mais frio que os 40^\circ\mathrm{C} de entrada — é assim que evaporadores e resfriadores por evaporação atuam.

Passo 8

Calcular a quantidade de vapor de água adicionada (item c)).\n
  • Por kg de ar seco, a massa de vapor adicionada é a diferença de razão de mistura:\n \Delta W = W_3 - W_1 = 0{,}01697 - 0{,}00988 \approx0{,}00709\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.\n
  • Com a vazão assumida \dot m_a=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}, a massa de vapor adicionada por segundo é \dot m_v=\dot m_a\Delta W=0{,}00709\\ \mathrm{kg/s}.\n- Convertendo para \mathrm{kg/h}:\n \dot m_v = 0{,}00709\times3600 \approx25{,}5\\ \mathrm{kg/h}.\n
Interpretação: cada segundo de ar seco (1 kg/s) capta aproximadamente 7{,}09 gramas de água na saturação, o que dá cerca de 25{,}5 kg por hora.

Passo 9

Esquematizar o processo na carta psicrométrica (item e) — descrição do caminho e pontos a marcar.\n
  • Pontos a marcar na carta psicrométrica (coord. por temperatura e porcentagem, e/ou por W):\n 1. Ponto A (estado inicial): T_1=25^\circ\mathrm{C}, \phi_1=50\%. Este ponto tem W_1\approx0{,}00988 e entalpia correspondente (pode-se marcar a isoentalpia também).\n 2. Ponto B (após aquecimento): T_2=40^\circ\mathrm{C}, \phi_2\approx21{,}5\%. No diagrama, o ponto B está à direita de A (maior temperatura) e sobre a mesma curva de W (linha quase horizontal, pois W não mudou no aquecimento). Em palavras: aquecimento é movimento praticamente horizontal para a direita se o eixo horizontal é temperatura seca e o eixo vertical é umidade absoluta/razão de mistura.\n 3. Ponto C (após saturador): saturado a T_3\approx22{,}32^\circ\mathrm{C}, isto é, \phi_3=100\% e W_3\approx0{,}01697. No diagrama, C está sobre a curva de saturação (a curva mais à direita), abaixo e à esquerda de B. O caminho B→C no diagrama psicrométrico é ao longo de uma isoentalpia (linha de mesmo h), típica de um processo adiabático de adição de umidade por evaporação.\n- Resumo do caminho no diagrama: A \rightarrow B é aquecimento a W constante (seta para a direita). B \rightarrow C é adiabático de mistura/evaporação, trepidação ao longo de uma isoentalpia até interceptar a curva de saturação em T_3.\n- Observação prática: se você tivesse a carta psicrométrica em papel, marcaria A com coordenadas (25^\circ\mathrm{C},50\%), traçaria a linha horizontal (aproximadamente) até 40^\circ\mathrm{C} para B, depois seguiria a isoentalpia para baixo/esquerda até a curva de saturação para achar C em 22{,}32^\circ\mathrm{C}. Isso visualiza claramente a queda de temperatura e o aumento da umidade absoluta no saturador.\n\n(Como pedido: aqui esquematizei o processo; não posso desenhar a carta, mas descrevi exatamente onde ficarão A, B e C e qual tipo de linha cada processo representa.)

Resposta

a) \phi_2 \approx 21{,}5\%.\n
b) \dot Q \approx 15{,}35\\ \mathrm{kW} para \dot m_a=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} (equivalente a 15{,}35\\ \mathrm{kJ/kg} de ar seco).\n
c) \dot m_{v} \approx 25{,}5\\ \mathrm{kg/h} para \dot m_a=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} (isto é, \Delta W\approx0{,}00709\\ \mathrm{kg/kg}).\n
d) T_3 \approx 22{,}32^\circ\mathrm{C} (estado final saturado, \phi_3=100\%).\n
e) No diagrama psicrométrico: A (25^\circ\mathrm{C},50\%) \rightarrow B (40^\circ\mathrm{C},21{,}5\%) por aquecimento a W constante (movimento para a direita); B \rightarrow C (22{,}32^\circ\mathrm{C},100\%) ao longo de uma isoentalpia (processo adiabático de saturação), interceptando a curva de saturação.

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