Ar atmosférico, inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C} e 40 \% de umidade relativa (ponto A), é aquecido até 60^{\circ} \mathrm{C} (ponto B). Nesta condição a corrente gasosa entra em um secador e sai saturado (ponto C). A corrente resultante que sai do secador é novamente aquecida até 70^{\circ} \mathrm{C} (ponto D). Esta corrente entra em contato com água, onde é umidificada, de modo que ao final da umidificação (ponto E) a corrente gasosa apresenta uma entalpia de aproximadamente 213,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} (entalpia sem correção). Esta corrente é então resfriada até saturação (ponto F). Demonstre toda a operação mencionada e determine as propriedades possíveis do gás nos pontos \mathrm{B}, \mathrm{E} e F. Para cada 18 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar úmido, calcule a taxa de transferência de calor total necessária para realizar as operações entre os pontos B e E.

Passo 1

O enunciado descreve a sequência de estados de uma corrente de ar úmido (toda a energia e humidade referidas por kg de ar seco):
  • Ponto A: ar à 25^\circ\mathrm{C} e 40\% de umidade relativa.
  • Ponto B: ar aquecido até 60^\circ\mathrm{C} (sem alteração da razão de mistura).
  • Ponto C: saída do secador, a corrente fica saturada (100% UR) — isto significa que a razão de mistura passa para o valor de saturação na temperatura de saída do secador. (O enunciado não dá explicitamente a temperatura de saída do secador; como o exercício pede apenas propriedades em B, E e F e dá a entalpia em E, vamos trabalhar com as informações suficientes para esses pontos.)
  • Ponto D: corrente resultante é aquecida a 70^\circ\mathrm{C}.
  • Ponto E: após umidificação por contato com água a entalpia da corrente é \approx 213,5\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia por kg de ar seco).
  • Ponto F: corrente é resfriada até ficar saturada (100% UR) — ou seja, queda de temperatura mantendo a razão de mistura de E.
O que o exercício pede explicitamente: determinar as propriedades do gás nos pontos B, E e F e, para cada 18\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} de ar úmido, calcular a taxa de transferência de calor total necessária entre os pontos B e E.
Dados físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas ao longo do processo): saturação (pressão de vapor), razão de mistura \,w, entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco, e balanço de massa/volume para obter a vazão mássica de ar seco a partir do volume de ar úmido. Não há dados adicionais; vou assumir pressão atmosférica p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}. Para progredir precisamos assumir que a humificação final em E ocorre à temperatura de aquecimento anterior, isto é, T_E=70^\circ\mathrm{C} (explico e justifico esta escolha nos passos seguintes).

Passo 2

Revisão das fórmulas e constantes que usarei (com explicação didática curta):
  1. Pressão de vapor de saturação da água (fórmula de Tetens, boa aproximação para temperaturas usuais):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad[\mathrm{kPa}],
onde T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}. Esta fórmula dá a pressão de vapor saturante (máxima pressão parcial do vapor d’água) à temperatura T.
  1. Razão de mistura (humidity ratio) \,w (kg de vapor por kg de ar seco):
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v},
em que p_v é a pressão parcial do vapor e p é a pressão total (aqui 101{,}325\\ \mathrm{kPa}). Esta fórmula vem da relação dos gases ideais para a mistura seco-ar/vapor.
  1. Entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática amplamente usada):
h = 1{,}006\,T + w\,(2501 + 1{,}86\,T)\quad[\mathrm{kJ/kg}],
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Interpretação: 1{,}006\,T é a entalpia sensível do ar seco (kJ/kg ar seco), e w(2501 + 1{,}86T) é a contribuição do vapor (calor latente de vaporização mais calor sensível do vapor).
  1. Para passar de vazão volumétrica de ar úmido para vazão mássica de ar seco, usamos o volume específico por kg de ar seco (soma do volume ocupado pelo ar seco e pelo vapor):
v = \frac{R_d\,T_K}{p_d} + w\,\frac{R_v\,T_K}{p_v},
onde R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, R_v=461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_K=T+273{,}15 em K, p_v em Pa e p_d=p - p_v em Pa. O volume v tem unidades \mathrm{m}^3/\mathrm{kg\,ar\\ seco}. Então a vazão de ar seco é \dot m_{da} = \dot V / v.
Observação metodológica: o enunciado dá explicitamente h_E e um aquecimento até 70^\circ\mathrm{C} antes da umidificação. A forma mais direta de obter w_E é assumir que a umidificação final (E) ocorre aproximadamente à temperatura do ar seco imediatamente antes (isto é, T_E \approx 70^\circ\mathrm{C}); isso faz sentido quando a humificação é feita com água a temperatura próxima da corrente (ou quando a descrição do problema leva a usar o ponto D como referência para a região de contato). Essa hipótese é necessária porque só com h_E (um número) não dá para resolver simultaneamente T_E e w_E sem informação adicional — assumir T_E=70^\circ\mathrm{C} é a hipótese física mais natural dada a sequência do enunciado. Vou prosseguir com essa hipótese e indicar quando ela é usada.

Passo 3

Estado no ponto A (apenas para calcular a razão de mistura inicial que se conserva ao aquecer até B).
  • T_A=25^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}_A=40\%, p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
Calcule p_{ws}(25^\circ\mathrm{C}) pela Tetens:
p_{ws}(25)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot25}{25+237{,}3}\right)=3{,}169\\ \mathrm{kPa}.
Pressão parcial do vapor em A:
p_{vA}=0{,}40\cdot p_{ws}(25)=1{,}268\\ \mathrm{kPa}.
Razão de mistura em A (e portanto também em B, pois o aquecimento B mantém w constante):
w_A=0{,}622\frac{1{,}268}{101{,}325 - 1{,}268}=0{,}007883\\ \mathrm{kg/kg\\ (ar\\ seco)}.

Passo 4

Propriedades no ponto B (após aquecimento):
  • T_B=60^\circ\mathrm{C}. O aquecimento não altera w, logo
w_B = w_A = 0{,}007883.
Pressão parcial do vapor em B (mesmo valor numérico que em A, porque não houve troca de vapor):
p_{vB}=1{,}268\\ \mathrm{kPa}.
Pressão de saturação em 60^\circ\mathrm{C} (para cálculo da UR em B):
p_{ws}(60)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot60}{60+237{,}3}\right)\approx 19{,}95\\ \mathrm{kPa}.
Umidade relativa em B:
\mathrm{UR}_B = \frac{p_{vB}}{p_{ws}(60)} = \frac{1{,}268}{19{,}95} \approx 0{,}0636 = 6{,}36\%.
Entalpia em B (usar a fórmula prática):
h_B = 1{,}006\cdot 60 + 0{,}007883\,(2501 + 1{,}86\cdot 60).
Calculemos:
1{,}006\cdot60 = 60{,}36
2501 + 1{,}86\cdot60 = 2501 + 111{,}6 = 2612{,}6
w_B\cdot(2501 + 1{,}86\cdot60)=0{,}007883\cdot2612{,}6 \approx 20{,}60
h_B \approx 60{,}36 + 20{,}60 = 80{,}96\\ \mathrm{kJ/kg\\ (ar\\ seco)}.
Resumo (ponto B):
  • T_B = 60^\circ\mathrm{C}
  • w_B = 0{,}007883\\ \mathrm{kg/kg}
  • \mathrm{UR}_B \approx 6{,}36\%
  • h_B \approx 80{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Propriedades no ponto E. (Aqui uso a hipótese física explicada: a umidificação ocorreu quando a corrente estava a 70^\circ\mathrm{C}, isto é, T_E = 70^\circ\mathrm{C}. A partir de h_E dado, determinamos w_E.)
Temos h_E = 213{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} (dado) e T_E = 70^\circ\mathrm{C}. A fórmula de entalpia:
h_E = 1{,}006\,T_E + w_E\,(2501 + 1{,}86\,T_E).
Isolando w_E:
w_E = \frac{h_E - 1{,}006\,T_E}{2501 + 1{,}86\,T_E}.
Substituindo T_E=70 e h_E=213{,}5:
1{,}006\cdot70 = 70{,}42,
2501 + 1{,}86\cdot70 = 2501 + 130{,}2 = 2631{,}2,
w_E = \frac{213{,}5 - 70{,}42}{2631{,}2} = \frac{143{,}08}{2631{,}2} \approx 0{,}05436\\ \mathrm{kg/kg}.
Agora a pressão parcial do vapor em E:
p_{vE} = \frac{w_E\,p}{0{,}622 + w_E} = \frac{0{,}05436\cdot101{,}325}{0{,}622 + 0{,}05436} \approx 8{,}145\\ \mathrm{kPa}.
Pressão de saturação a 70^\circ\mathrm{C} (para obter UR):
p_{ws}(70) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot70}{70+237{,}3}\right)\approx 31{,}30\\ \mathrm{kPa}.
Umidade relativa em E:
\mathrm{UR}_E = \frac{p_{vE}}{p_{ws}(70)} = \frac{8{,}145}{31{,}30} \approx 0{,}260 = 26{,}0\%.
Resumo (ponto E):
  • T_E = 70^\circ\mathrm{C} (hipótese física justificada pela sequência do enunciado)
  • h_E = 213{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} (dado)
  • w_E \approx 0{,}05436\\ \mathrm{kg/kg}
  • \mathrm{UR}_E \approx 26{,}0\%
  • p_{vE} \approx 8{,}145\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Propriedades no ponto F (resfriamento até saturação mantendo a razão de mistura de E, isto é w_F = w_E e \mathrm{UR}_F=100\%). Precisamos achar a temperatura de saturação T_F tal que a razão de mistura de saturação seja w_E.
A relação inversa (a partir da definição de w) dá a pressão de saturação necessária:
p_{ws}(T_F) = p\;\frac{w_E}{0{,}622 + w_E}.
Substituindo valores:
p_{ws}(T_F) = 101{,}325\cdot\frac{0{,}05436}{0{,}622 + 0{,}05436} \approx 8{,}1447\\ \mathrm{kPa}.
Agora invertemos a fórmula de Tetens (fórmula inversa):
T_F = \frac{237{,}3\;\ln\!\big(p_{ws}/0{,}61078\big)}{17{,}27 - \ln\!\big(p_{ws}/0{,}61078\big)}.
Com p_{ws}=8{,}1447\\ \mathrm{kPa}:
\ln\!\left(\frac{8{,}1447}{0{,}61078}\right)=\ln(13{,}334)\approx 2{,}590,
T_F \approx \frac{237{,}3\cdot 2{,}590}{17{,}27 - 2{,}590} = \frac{614{,}0}{14{,}68} \approx 41{,}82^\circ\mathrm{C}.
Entalpia em F (usar T_F e w_F=w_E):
h_F = 1{,}006\cdot 41{,}82 + 0{,}05436\,(2501 + 1{,}86\cdot 41{,}82).
Calcule:
1{,}006\cdot41{,}82 \approx 42{,}04,
2501 + 1{,}86\cdot41{,}82 = 2501 + 77{,}86 = 2578{,}86,
0{,}05436\cdot2578{,}86 \approx 140{,}26,
h_F \approx 42{,}04 + 140{,}26 = 182{,}30\\ \mathrm{kJ/kg}.
Resumo (ponto F):
  • T_F \approx 41{,}82^\circ\mathrm{C}
  • w_F = 0{,}05436\\ \mathrm{kg/kg} (igual a w_E)
  • \mathrm{UR}_F = 100\% (saturado)
  • h_F \approx 182{,}30\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Cálculo da vazão mássica de ar seco a partir de \dot V = 18\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} de ar úmido. Vou usar as propriedades no ponto B (condição do ar ao entrar no secador / inicio das operações B→E), porque a vazão volumétrica de 18\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} refere-se ao ar úmido nessa faixa de operações.
Primeiro calculo o volume específico por kg de ar seco em B:
v_B = \frac{R_d\,T_{B,K}}{p_{dB}} + w_B\frac{R_v\,T_{B,K}}{p_{vB}},
com T_{B,K}=60+273{,}15=333{,}15\\ \mathrm{K}, p_{vB}=1{,}268\\ \mathrm{kPa}=1268\\ \mathrm{Pa}, p_{dB}=101{,}325-1{,}268=100{,}057\\ \mathrm{Pa}.
Termos (valores numéricos):
\frac{R_d\,T_{B,K}}{p_{dB}} = \frac{287{,}05\cdot333{,}15}{100{,}057}\approx 0{,}9567\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
w_B\frac{R_v\,T_{B,K}}{p_{vB}} = 0{,}007883\cdot\frac{461{,}5\cdot333{,}15}{1268}\approx 0{,}9556\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Somando:
v_B \approx 0{,}9567 + 0{,}9556 = 1{,}9123\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg\\ (ar\\ seco)}.
Portanto a vazão mássica de ar seco é:
\dot m_{da} = \frac{\dot V}{v_B} = \frac{18}{1{,}9123} \approx 9{,}414\\ \mathrm{kg/s\\ (ar\\ seco)}.

Passo 8

Cálculo da taxa total de transferência de calor necessária entre B e E:
A variação de entalpia por kg de ar seco é
\Delta h = h_E - h_B = 213{,}5 - 80{,}96 = 132{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.
A potência térmica necessária é
\dot Q = \dot m_{da}\,\Delta h = 9{,}414\cdot 132{,}54 \approx 1247{,}9\\ \mathrm{kJ/s} = 1247{,}9\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente,
\dot Q \approx 1{,}248\times 10^{3}\\ \mathrm{kW} \approx 1{,}248\\ \mathrm{MW}.
(Interpretação: essa é a taxa total de calor que deve ser fornecida ao ar seco para elevar sua entalpia de h_B até h_E na vazão volumétrica dada. Note que parte dessa energia corresponde a calor sensível e parte à energia necessária para vaporizar água adicionada; o cálculo foi feito por kg de ar seco e multiplicado pela vazão de ar seco.)

Resposta

B: T_B = 60^\circ\mathrm{C};\; w_B = 0{,}007883\\ \mathrm{kg/kg_{da}};\; \mathrm{UR}_B \approx 6{,}36\%;\; h_B \approx 80{,}96\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
E: T_E = 70^\circ\mathrm{C} (hipótese física conforme texto); h_E = 213{,}5\\ \mathrm{kJ/kg_{da}};\; w_E \approx 0{,}05436\\ \mathrm{kg/kg_{da}};\; \mathrm{UR}_E \approx 26{,}0\%.
F: T_F \approx 41{,}82^\circ\mathrm{C};\; w_F = 0{,}05436\\ \mathrm{kg/kg_{da}};\; \mathrm{UR}_F = 100\%;\; h_F \approx 182{,}30\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
Taxa de calor (para \dot V = 18\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} de ar úmido na condição de B): \dot Q \approx 1{,}248\times 10^{3}\\ \mathrm{kW} (aprox. 1248\\ \mathrm{kW}).

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