Una barra metálica de seç̧ão constante e comprimento L tem as suas extremidades mantidas a temperaturas constantes t1 e dott2. Determine a temperatura do ponto médio da barra, quando o calor flui através da mesma em regime estacionário. As superficies laterais da barra estão isoladas termicamente.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma barra metálica com comprimento L e seção transversal constante. As extremidades dessa barra estão mantidas a temperaturas constantes t1 e t2. Além disso, as laterais da barra estão isoladas termicamente, ou seja, não deixam entrar ou sair calor. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura no ponto que está bem no meio da barra quando o calor está fluindo de forma constante e sem alterações no tempo (estado estacionário). Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e entender como a temperatura se distribui na barra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa estar em estado estacionário. Isso quer dizer que as temperaturas ao longo da barra não vão mudar com o tempo. O calor está fluindo de um lado para o outro, mas a distribuição de temperatura fica constante. Nesse cenário, a quantidade de calor que entra em uma parte da barra é igual à que sai, mantendo tudo em equilíbrio.

Passo 3

A maneira como o calor se propaga numa barra é descrita pela Lei de Fourier da condução de calor. Em uma dimensão, para uma barra com seção constante, essa lei é expressa pela fórmula:
q = -k dTdx
Onde:
  • q é o fluxo de calor por unidade de área,
  • k é a condutividade térmica do material da barra,
  • dTdx é o gradiente de temperatura ao longo da barra.
O sinal negativo indica que o calor flui da região de maior temperatura para a de menor temperatura.

Passo 4

Como as extremidades da barra estão a temperaturas fixas ( t1 e t2) e as laterais não permitem passagem de calor, a temperatura dentro da barra vai variar de forma linear entre essas duas extremidades. Isso significa que a distribuição de temperatura ao longo da barra é uma linha reta que vai de t1 a t2.

Passo 5

Para encontrar a temperatura no ponto médio da barra, basta calcular a média aritmética das temperaturas das extremidades. Como a variação é linear, o ponto médio terá a temperatura exatamente entre t1 e t2.
Tmeio = t1 + t22

Resposta

A temperatura no ponto médio da barra é t1 + t22.

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