1. ( 05 pontos) Prove que valem:
    Se a e B são positivos, mostre que: a média harmônica é menor ou igual a média geométrica, ou seja, \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números positivos e pede para mostrar a desigualdade entre a média harmônica e a média geométrica:
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}.
Informações relevantes dadas:
  • a>0 e b>0.
  • Queremos provar que a média harmônica de a e b é menor ou igual à média geométrica deles.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a média harmônica de forma mais manejável. Como a e b são positivos, podemos somar as frações do denominador:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}.
Portanto a média harmônica é
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.

Passo 3

Substituindo na desigualdade que queremos provar, o problema fica equivalente a mostrar
\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}.
Como a>0 e b>0, temos \sqrt{ab}>0, logo é permitido dividir ambos os lados por \sqrt{ab} sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso obtemos
\frac{2ab}{a+b}\cdot\frac{1}{\sqrt{ab}}\leq 1.

Passo 4

Simplificando o lado esquerdo:
\frac{2ab}{a+b}\cdot\frac{1}{\sqrt{ab}}=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}.
Assim a desigualdade que precisamos provar torna-se
\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\leq 1,
que é equivalente a
2\sqrt{ab}\leq a+b.

Passo 5

Agora vamos provar 2\sqrt{ab}\leq a+b. Uma maneira clássica e direta é usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Considere \sqrt{a}-\sqrt{b}. Tem-se
(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0.
Expandindo o quadrado chegamos a
a-2\sqrt{ab}+b\geq 0.
Rearranjando os termos obtemos
a+b\geq 2\sqrt{ab},
que é exatamente a desigualdade desejada.
Explicação didática rápida: a desigualdade acima é a forma para dois números da conhecida desigualdade média aritmética ≥ média geométrica (AM ≥ GM) para dois termos. Aqui provamos AM ≥ GM de maneira elementar usando um quadrado.

Passo 6

Voltando pelos equivalentes que formamos, a desigualdade a+b\geq 2\sqrt{ab} implica
\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\leq 1,
o que implica
\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab},
isto é,
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}.
Observação sobre igualdade: ocorre quando \sqrt{a}-\sqrt{b}=0, isto é, quando a=b.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}

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