- ( 05 pontos) Prove que valem:
Se
e
são positivos, mostre que: a média harmônica é menor ou igual a média geométrica, ou seja,
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números positivos e pede para mostrar a desigualdade entre a média harmônica e a média geométrica:
Informações relevantes dadas:
-
e . - Queremos provar que a média harmônica de
e é menor ou igual à média geométrica deles.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a média harmônica de forma mais manejável. Como
e
são positivos, podemos somar as frações do denominador:
Portanto a média harmônica é
Passo 3
Substituindo na desigualdade que queremos provar, o problema fica equivalente a mostrar
Como
e
, temos
, logo é permitido dividir ambos os lados por
sem trocar o sinal da desigualdade. Fazendo isso obtemos
Passo 4
Simplificando o lado esquerdo:
Assim a desigualdade que precisamos provar torna-se
que é equivalente a
Passo 5
Agora vamos provar
. Uma maneira clássica e direta é usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Considere
. Tem-se
Expandindo o quadrado chegamos a
Rearranjando os termos obtemos
que é exatamente a desigualdade desejada.
Explicação didática rápida: a desigualdade acima é a forma para dois números da conhecida desigualdade média aritmética ≥ média geométrica (AM ≥ GM) para dois termos. Aqui provamos AM ≥ GM de maneira elementar usando um quadrado.
Passo 6
Voltando pelos equivalentes que formamos, a desigualdade
implica
o que implica
isto é,
Observação sobre igualdade: ocorre quando
, isto é, quando
.