\underline{6} - Determinar nos itens abaixo a reatância e o respectivo fasor (na forma polar e retangular):
Capacitor de 100 \mu \mathrm{~F} e frequência de 60 \mathrm{~Hz}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o capacitor dado: (1) a reatância e (2) o respectivo fasor na forma polar e na forma retangular.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como chegou no enunciado): C=100\,\mu\mathrm{F} e f=60\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que cada símbolo significa e a fórmula básica que vamos usar.
  • f é a frequência em hertz (ciclos por segundo).
  • \omega é a frequência angular, medida em rad/s, e está relacionada com f por \omega=2\pi f.
  • Para um capacitor ideal, a impedância (o fasor) é
Z_C=\frac{1}{j\omega C},
onde j é a unidade imaginária (em engenharia elétrica usamos j em vez de i). Vou calcular \omega primeiro para ter os números prontos.

Passo 3

Calculemos \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Em forma numérica aproximada:
\omega \approx 376{,}9911\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora a reatância capacitiva. Há duas maneiras de falar dela: o valor absoluto (positivo) e o valor “assinado” (que normalmente é negativo porque aparece na parte imaginária negativa do plano complexo). A magnitude da reatância é
|X_C|=\frac{1}{\omega C}.
Se quisermos o sinal convencional para reatância capacitiva, escrevemos
X_C=-\frac{1}{\omega C}.
Vou calcular a magnitude e depois dar o sinal.

Passo 5

Calcule \omega C para facilitar a inversão:
\omega C \approx 376{,}9911 \times 100\cdot 10^{-6} = 376{,}9911 \times 10^{-4} = 0{,}03769911.
Agora a magnitude da reatância:
|X_C|=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0{,}03769911}\approx 26{,}5258\\ \Omega.

Passo 6

Portanto, escrevendo a reatância com o sinal (o que indica que é capacitiva, ou seja, contribui com parte imaginária negativa):
X_C = -\frac{1}{\omega C} \approx -26{,}5258\\ \Omega.
Na prática de prova, normalmente arredonda-se para três casas significativas, ficando 26{,}526\\ \Omega.

Passo 7

Agora o fasor (impedância) do capacitor. Usamos a relação
Z_C=\frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}.
Substituindo o valor numérico que já calculamos:
Z_C = -j\,26{,}5258\\ \Omega.
Isso é a forma retangular (parte real 0, parte imaginária -26{,}5258).

Passo 8

Para passar para a forma polar, lembramos as fórmulas de conversão: se Z=a+jb, então a magnitude é |Z|=\sqrt{a^2+b^2} e o ângulo é \theta=\operatorname{atan2}(b,a). No nosso caso a=0 e b=-26{,}5258, então
|Z_C|=\sqrt{0^2+(-26{,}5258)^2}=26{,}5258\\ \Omega,
e o ângulo é
\theta=\operatorname{atan2}(-26{,}5258,0)=-90^\circ.
Assim, a forma polar é
Z_C = 26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega,
novamente arredondando tipicamente para 26{,}526\angle -90^\circ\\ \Omega.

Passo 9

Resumo dos resultados numéricos prontos para a prova (vou mostrar as três representações úteis):
  • Reatância (assinalada): X_C\approx -26{,}5258\\ \Omega.
  • Fasor em forma retangular: Z_C\approx -j\,26{,}5258\\ \Omega.
  • Fasor em forma polar: Z_C\approx 26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega.

Resposta

X_C \approx -26{,}5258\\ \Omega
Z_C \approx -j\,26{,}5258\\ \Omega
Z_C \approx 26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega

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