1^{\underline{\mathbf{a}}} QUESTÃO. Em um canal retangular com 10,50 \mathrm{~m} de largura, declividade de fundo \mathrm{lo}=0,0007 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, coeficiente de rugosidade \mathrm{n}=0,025, escoa em regime uniforme, uma vazão de 8.000 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Determine a energia específica, e o tipo do escoamento verificando a lâmina d’água crítica e o número de Froude. Determine ainda a velocidade crítica e a Inclinação crítica.
[ \mathrm{E}=0,9230 \mathrm{~m} ; \mathrm{yc}=0,3898 \mathrm{~m} (Fluvial) ; \mathrm{FR}=0,2922 (Fluvial) ; Vc =1,9545 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{Ic}=0,00838 \mathrm{~m} / \mathrm{m} ]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo para ficarmos combinados):
\begin{aligned} &\text{Largura do canal: } b=10{,}50\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Declividade do fundo: } S_0=0{,}0007\\ \mathrm{m/m}\\\ &\text{Coeficiente de Manning: } n=0{,}025\\\ &\text{Vazão: } Q=8000\\ \mathrm{L/s}=8{,}000\\ \mathrm{m^3/s} \end{aligned}ã
O que foi pedido:
  • Determinar a energia específica E (no escoamento uniforme, ou seja, na lâmina de escoamento normal y_n).
  • Calcular a lâmina crítica y_c para o canal retangular e o número de Froude Fr (para classificar o escoamento: fluvial/subcrítico ou torrencial/supercrítico).
  • Determinar a velocidade crítica V_c.
  • Determinar a inclinação crítica I_c (a declividade que tornaria o escoamento crítico).
    Observação: todos os cálculos que envolvem fórmulas de hidráulica serão mostrados passo a passo; não parto do princípio que você já saiba isso.

Passo 2

Relembrando as fórmulas fundamentais (aula rapidinha antes de resolver):
  • Área da seção (canal retangular): \displaystyle A=b\,y. Aqui y é a lâmina d’água.
  • Perímetro molhado: \displaystyle P=b+2y.
  • Raio hidráulico: \displaystyle R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{b\,y}{b+2y}. O raio hidráulico tem dimensão de comprimento e mede a “efetiva” área molhada por unidade de perímetro.
  • Equação de Manning (escoamento uniforme): \displaystyle Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}.
Explicando: Q é a vazão dada; n mede a rugosidade; S_0 é a declividade do fundo. Para achar a profundidade normal y_n devemos resolver essa equação para y (não é explícita em y, por isso resolvemos numericamente).
  • Velocidade média: \displaystyle V=\frac{Q}{A}.
  • Energia específica (referida ao fundo do canal): \displaystyle E = y + \frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Lâmina crítica para canal retangular (fórmula direta): \displaystyle y_c = \left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3}.
Explicando: para canais prismaticos retangulares, a profundidade crítica é obtida isolando a condição de Fr=1 com a área e a largura constantes.
  • Número de Froude (para comparação com 1): \displaystyle Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}.
Se Fr<1 é escoamento fluvial (subcrítico); se Fr>1 é torrencial (supercrítico).
  • Velocidade crítica (no nível crítico): \displaystyle V_c=\sqrt{g\,y_c}.
  • Inclinação crítica via Manning (colocando y=y_c na equação de Manning e isolando S): \displaystyle I_c \;=\; \frac{n^2\,Q^2}{A_c^2\,R_c^{4/3}},
onde A_c=b\,y_c e R_c=\dfrac{b\,y_c}{b+2y_c}.
Observação pedagógica: para canais muito largos costuma-se aproximar R\approx y; eu vou calcular I_c com a expressão exata (usando R_c) e mostrar também a aproximação, para você ver a diferença.

Passo 3

Resolver a equação de Manning para encontrar a lâmina normal y_n (método numérico explicado):
A equação a resolver é
f(y)=\frac{1}{n}\,b\,y\left(\frac{b\,y}{b+2y}\right)^{2/3}\sqrt{S_0}-Q=0.
Vou aplicar um método simples (bisseção/iteração) e mostrar alguns pontos de verificação para convergência (faço as contas passo a passo para ficar claro).
Constantes iniciais:
\frac{1}{n}=40,\qquad \sqrt{S_0}=\sqrt{0{,}0007}=0{,}0264575\\ (\text{aprox.}),
portanto o fator multiplicador é
C=\frac{1}{n}\sqrt{S_0}=40\cdot0{,}0264575\approx1{,}058300.
Testes rápidos (alguns valores de y):
  • Para y=0{,}50\\ \mathrm{m}:
A=10{,}5\cdot0{,}50=5{,}25,\quad P=10{,}5+1{,}00=11{,}5,\quad R=\frac{5{,}25}{11{,}5}=0{,}45652.
Q_{calc}=C\cdot A\cdot R^{2/3}\approx1{,}058300\cdot5{,}25\cdot0{,}5926\approx3{,}29\\ \mathrm{m^3/s}<8.
  • Para y=1{,}00\\ \mathrm{m}:
A=10{,}5,\\ P=12{,}5,\\ R=0{,}84,\\ R^{2/3}\approx0{,}8905.
Q_{calc}\approx1{,}058300\cdot10{,}5\cdot0{,}8905\approx9{,}90\\ \mathrm{m^3/s}>8.
Logo y_n\in(0{,}50,\;1{,}00).
Refinando por iterações (aponto os valores representativos):
  • y=0{,}85\\ \mathrm{m}\Rightarrow Q_{calc}\approx7{,}66\\ \mathrm{m^3/s} (ainda menor que 8).
  • y=0{,}87\\ \mathrm{m}\Rightarrow Q_{calc}\approx7{,}957\\ \mathrm{m^3/s}.
  • y=0{,}875\\ \mathrm{m}\Rightarrow Q_{calc}\approx8{,}026\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpolando entre y=0{,}872 e y=0{,}875 (valores próximos que deram Q_{calc} ligeiramente abaixo e acima de 8) encontramos a solução com boa precisão:
\boxed{y_n\approx 0{,}8735\\ \mathrm{m}}
(essa é a lâmina normal obtida pela solução numérica da equação de Manning com os dados dados).

Passo 4

Calcular área, raio hidráulico, velocidade média e a energia específica no escoamento uniforme (usando y_n encontrado):
A=b\,y_n=10{,}5\cdot0{,}8735\approx9{,}171\\ \mathrm{m^2}.
P=b+2y_n=10{,}5+2\cdot0{,}8735\approx12{,}247\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}\approx\frac{9{,}171}{12{,}247}\approx0{,}7490\\ \mathrm{m}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{8{,}000}{9{,}171}\approx0{,}8727\\ \mathrm{m/s}.
Energia específica:
E=y_n+\frac{V^2}{2g}=0{,}8735+\frac{0{,}8727^2}{2\cdot9{,}81}.
Calculemos a parcela cinética:
\frac{V^2}{2g}=\frac{0{,}7616}{19{,}62}\approx0{,}03883\\ \mathrm{m}.
Portanto
\boxed{E\approx 0{,}9123\\ \mathrm{m}}.
Comentário empático: dá um alívio ver que a energia específica é de ordem de um metro — o canal é largo, a profundidade é pequena. Vamos agora à lâmina crítica.

Passo 5

Calcular a lâmina crítica y_c (fórmula direta para retângulo):
y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3}.
Substituindo:
\frac{Q^2}{g\,b^2}=\frac{8{,}000^2}{9{,}81\cdot(10{,}5)^2}=\frac{64}{9{,}81\cdot110{,}25}\approx0{,}0592056.
Tomando a raiz cúbica:
\boxed{y_c\approx 0{,}3898\\ \mathrm{m}}.

Passo 6

Classificação do escoamento usando y_n e y_c e o número de Froude:
  • Comparação de lâminas: y_n\approx0{,}8735\\ \mathrm{m} é maior que y_c\approx0{,}3898\\ \mathrm{m}. Isso indica escoamento subcrítico (fluvial).
  • Alternativamente, calculamos o número de Froude para confirmar:
Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y_n}}=\frac{0{,}8727}{\sqrt{9{,}81\cdot0{,}8735}}.
Calculemos o denominador: \sqrt{9{,}81\cdot0{,}8735}=\sqrt{8{,}569}\approx2{,}928. Logo
\boxed{Fr\approx0{,}2981\quad(\text{Fluvial / subcrítico})}.í
Comentário amigável: Fr menor que 1 confirma que a superfície livre “reage” rápido às alterações a montante — típico de escoamento fluvial.

Passo 7

Velocidade crítica V_c (no nível crítico):
V_c=\sqrt{g\,y_c}=\sqrt{9{,}81\cdot0{,}3898}\approx1{,}9546\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\boxed{V_c\approx1{,}9546\\ \mathrm{m/s}}.

Passo 8

Inclinação crítica I_c (usando Manning com y=y_c). Primeiro calculamos A_c e R_c:
A_c=b\,y_c=10{,}5\cdot0{,}3898\approx4{,}0933\\ \mathrm{m^2},
R_c=\frac{b\,y_c}{b+2y_c}=\frac{4{,}0933}{10{,}5+0{,}7796}\approx0{,}36283\\ \mathrm{m}.
Agora:
I_c=\frac{n^2\,Q^2}{A_c^2\,R_c^{4/3}}.
Calculemos numericamente: n^2=0{,}000625, Q^2=64. O denominador dá (com os valores acima) aproximadamente 4{,}3335. Assim
I_c\approx\frac{0{,}04}{4{,}3335}\approx0{,}0092347\\ \mathrm{m/m}.
Observação sobre aproximação: se, por simplicidade, aproximarmos R_c\approx y_c (válido para canais bem largos, pois R=b\,y/(b+2y)\approx y quando 2y\ll b), obtemos uma expressão mais simples e o valor
I_c\approx 0{,}00838\\ \mathrm{m/m}.
Ambos os valores são apresentados para você ver a diferença entre usar R_c exato e a aproximação R\approx y. A diferença aqui vem do fato de que 2y_c/b não é exatamente zero (mas é pequeno: \approx0{,}074), então a aproximação subestima um pouco I_c.

Resposta

E=0{,}9123\\ \mathrm{m}
y_c=0{,}3898\\ \mathrm{m} (escoamento: fluvial / subcrítico)
Fr=0{,}2981 (escoamento: fluvial / subcrítico)
V_c=1{,}9546\\ \mathrm{m/s}
I_c\approx0{,}009235\\ \mathrm{m/m} (aproximação usando R\approx y I_c\approx0{,}00838\\ \mathrm{m/m})

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