1^{\underline{\mathbf{a}}} QUESTÃO. Em um canal retangular com 10,50 \mathrm{~m} de largura, declividade de fundo \mathrm{lo}=0,0007 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, coeficiente de rugosidade \mathrm{n}=0,025, escoa em regime uniforme, uma vazão de 8.000 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Determine a energia específica, e o tipo do escoamento verificando a lâmina d’água crítica e o número de Froude. Determine ainda a velocidade crítica e a Inclinação crítica.
[ \mathrm{E}=0,9230 \mathrm{~m} ; \mathrm{yc}=0,3898 \mathrm{~m} (Fluvial) ; \mathrm{FR}=0,2922 (Fluvial) ; Vc =1,9545 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{Ic}=0,00838 \mathrm{~m} / \mathrm{m} ]
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo para ficarmos combinados):
\begin{aligned} &\text{Largura do canal: } b=10{,}50\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Declividade do fundo: } S_0=0{,}0007\\ \mathrm{m/m}\\\ &\text{Coeficiente de Manning: } n=0{,}025\\\ &\text{Vazão: } Q=8000\\ \mathrm{L/s}=8{,}000\\ \mathrm{m^3/s} \end{aligned}ã
O que foi pedido:
Determinar a energia específica E (no escoamento uniforme, ou seja, na lâmina de escoamento normal y_n).
Calcular a lâmina crítica y_c para o canal retangular e o número de Froude Fr (para classificar o escoamento: fluvial/subcrítico ou torrencial/supercrítico).
Determinar a velocidade crítica V_c.
Determinar a inclinação crítica I_c (a declividade que tornaria o escoamento crítico).
Observação: todos os cálculos que envolvem fórmulas de hidráulica serão mostrados passo a passo; não parto do princípio que você já saiba isso.
Passo 2
Relembrando as fórmulas fundamentais (aula rapidinha antes de resolver):
Área da seção (canal retangular): \displaystyle A=b\,y. Aqui y é a lâmina d’água.
Perímetro molhado: \displaystyle P=b+2y.
Raio hidráulico: \displaystyle R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{b\,y}{b+2y}. O raio hidráulico tem dimensão de comprimento e mede a “efetiva” área molhada por unidade de perímetro.
Equação de Manning (escoamento uniforme): \displaystyle Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}.
Explicando: Q é a vazão dada; n mede a rugosidade; S_0 é a declividade do fundo. Para achar a profundidade normal y_n devemos resolver essa equação para y (não é explícita em y, por isso resolvemos numericamente).
Velocidade média: \displaystyle V=\frac{Q}{A}.
Energia específica (referida ao fundo do canal): \displaystyle E = y + \frac{V^2}{2g},
Explicando: para canais prismaticos retangulares, a profundidade crítica é obtida isolando a condição de Fr=1 com a área e a largura constantes.
Número de Froude (para comparação com 1): \displaystyle Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}.
Se Fr<1 é escoamento fluvial (subcrítico); se Fr>1 é torrencial (supercrítico).
Velocidade crítica (no nível crítico): \displaystyle V_c=\sqrt{g\,y_c}.
Inclinação crítica via Manning (colocando y=y_c na equação de Manning e isolando S): \displaystyle I_c \;=\; \frac{n^2\,Q^2}{A_c^2\,R_c^{4/3}},
onde A_c=b\,y_c e R_c=\dfrac{b\,y_c}{b+2y_c}.
Observação pedagógica: para canais muito largos costuma-se aproximar R\approx y; eu vou calcular I_c com a expressão exata (usando R_c) e mostrar também a aproximação, para você ver a diferença.
Passo 3
Resolver a equação de Manning para encontrar a lâmina normal y_n (método numérico explicado):
A equação a resolver é
Vou aplicar um método simples (bisseção/iteração) e mostrar alguns pontos de verificação para convergência (faço as contas passo a passo para ficar claro).
Interpolando entre y=0{,}872 e y=0{,}875 (valores próximos que deram Q_{calc} ligeiramente abaixo e acima de 8) encontramos a solução com boa precisão:
\boxed{y_n\approx 0{,}8735\\ \mathrm{m}}
(essa é a lâmina normal obtida pela solução numérica da equação de Manning com os dados dados).
Passo 4
Calcular área, raio hidráulico, velocidade média e a energia específica no escoamento uniforme (usando y_n encontrado):
Comentário empático: dá um alívio ver que a energia específica é de ordem de um metro — o canal é largo, a profundidade é pequena. Vamos agora à lâmina crítica.
Passo 5
Calcular a lâmina crítica y_c (fórmula direta para retângulo):
Observação sobre aproximação: se, por simplicidade, aproximarmos R_c\approx y_c (válido para canais bem largos, pois R=b\,y/(b+2y)\approx y quando 2y\ll b), obtemos uma expressão mais simples e o valor
I_c\approx 0{,}00838\\ \mathrm{m/m}.
Ambos os valores são apresentados para você ver a diferença entre usar R_c exato e a aproximação R\approx y. A diferença aqui vem do fato de que 2y_c/b não é exatamente zero (mas é pequeno: \approx0{,}074), então a aproximação subestima um pouco I_c.