2^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Considere a função
f(x, y)=e^{x^{2}+2 x y}
(a) (4,0 pontos) Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y).
(b) (4,0 pontos) Encontre a equação do plano tangente a superfície z=f(x, y) no ponto P(2,-1,1).
(c) ( 3,0 pontos) Determine a Linearização da função f(x, y) para aproximar o valor da função para pontos próximos de Q(2,-1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=e^{x^{2}+2xy}
e pede:
(a) as derivadas parciais f_{x} e f_{y};
(b) a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P(2,-1,1);
(c) a linearização de f em torno de Q(2,-1) para aproximar valores próximos a esse ponto.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais usamos a regra da cadeia. Seja u=x^{2}+2xy, então f(x,y)=e^{u}. Temos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x+2y, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2x.
Logo,
f_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}e^{u} =e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x^{2}+2xy}(2x+2y),
f_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}e^{u} =e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =e^{x^{2}+2xy}(2x).

Passo 3

No ponto P(2,-1,1) temos
f(2,-1)=e^{2^{2}+2\cdot2\cdot(-1)} =e^{4-4}=e^{0}=1,
f_{x}(2,-1)=e^{0}(2\cdot2+2\cdot(-1))=1\cdot(4-2)=2,
f_{y}(2,-1)=e^{0}(2\cdot2)=4.
A equação do plano tangente z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) em P(2,-1,1) é
z-1=2(x-2)+4\bigl(y-(-1)\bigr) \;\Longrightarrow\; z=2x+4y+1.

Passo 4

A linearização de f em torno de Q(2,-1) é
L(x,y) =f(2,-1) +f_{x}(2,-1)\,(x-2) +f_{y}(2,-1)\,(y+1) =1+2(x-2)+4(y+1).
Simplificando,
L(x,y)=2x+4y+1.

Resposta

(a) f_{x}(x,y)=e^{x^{2}+2xy}(2x+2y), \quad f_{y}(x,y)=e^{x^{2}+2xy}(2x).
(b) z=2x+4y+1.
(c) L(x,y)=2x+4y+1.

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