3^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Seja
f(x, y, z)=f(x, y, z)=x^{2} y+y z
(a) ( 8,0 pontos) Determine a taxa de variação de f no ponto (1,2,-1) na direção de \vec{v}=(1,0,-2).
(b) (4,0 pontos) Qual é a taxa de variação máxima de f(x, y, z) no ponto (1,2,-1) ? Em qual direção e sentido isso ocorre?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y+y\,z
e pede:
– (a) a taxa de variação de f no ponto (1,2,-1) na direção de \vec{v}=(1,0,-2).
– (b) a taxa de variação máxima de f naquele ponto, e a direção e sentido em que isso ocorre.
Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Lembrando que
\nabla f=(\partial_{x}f,\;\partial_{y}f,\;\partial_{z}f),
temos
\partial_{x}f=2xy,\quad \partial_{y}f=x^{2}+z,\quad \partial_{z}f=y.
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\nabla f(x,y,z)=(2xy,\;x^{2}+z,\;y).

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,2,-1):
\nabla f(1,2,-1) =(2\cdot1\cdot2,\;1^{2}+(-1),\;2) =(4,\;0,\;2).

Passo 4

Para a derivada direcional em \vec{v}=(1,0,-2), primeiro normalizamos:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5},\quad \mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\Bigl(\frac{1}{\sqrt5},0,-\frac{2}{\sqrt5}\Bigr).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f(1,2,-1)\cdot\mathbf{u} =(4,0,2)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},0,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr) =\frac{4\cdot1+2\cdot(-2)}{\sqrt5} =\frac{4-4}{\sqrt5} =0.

Passo 5

A taxa de variação máxima de f em um ponto é o módulo do gradiente naquele ponto e ocorre na direção do próprio gradiente.
\bigl\|\nabla f(1,2,-1)\bigr\| =\sqrt{4^{2}+0^{2}+2^{2}} =\sqrt{20} =2\sqrt5.
A direção (unitária) é
\mathbf{u}_{\max} =\frac{\nabla f(1,2,-1)}{\|\nabla f(1,2,-1)\|} =\frac{(4,0,2)}{2\sqrt5} =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},0,\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr),
e o sentido é no mesmo sentido do vetor \nabla f(1,2,-1), ou seja, de aumento de f.

Resposta

(a) 0.
(b) A taxa de variação máxima é 2\sqrt5, ocorrendo na direção do vetor unitário \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},0,\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr), no sentido de \nabla f(1,2,-1).

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