1^{\underline{a}} Questão: A temperatura T(x, y) em um ponto P(x, y) de uma placa metálica é medida em Celsius \left({ }^{o} C\right). Uma carga elétrica se move ao longo desta placa metálica, segundo uma curva, de modo que sua posição após t segundos é dada por
x=x(t)=\sqrt{t} \quad \text { e } \quad y=y(t)=t-2
em que x e y são medidos em metros e t \in[0,2 \pi]. A funçao T(x, y) satisfaz T_{x}(2,2)=2 e T_{y}(2,2)=3.
(a) ( 2,0 pontos) Esboce o caminho percorrido pela carga elétrica e justifique determinando sua equação cartesiana.
(b) ( 2,0 pontos) Determine o vetor tangente à curva em cada ponto (x(t), y(t)), t \in[0,2 \pi].
(c) ( 6,0 pontos) Determine a taxa de variação da temperatura ao longo do percurso da carga elétrica em t=4. Neste instante de tempo, a temperatura está aumentando ou diminuindo?
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura T(x,y) numa placa metálica e uma carga que se move segundo a curva parametrizada por
x(t)=\sqrt{t},\quad y(t)=t-2,\quad t\in[0,2\pi].
Precisamos de (a) obter a equação cartesiana do trajeto e esboçá-lo, (b) encontrar o vetor tangente \mathbf v(t), e (c) usar a regra da cadeia para calcular \dfrac{dT}{dt} em t=4 e dizer se T aumenta ou diminui.
Passo 2
Para escrever y em função de x, isolamos t em x=\sqrt{t}, obtendo t=x^2. Substituindo em y=t-2 vem
y=x^2-2,
com x\ge0 variando até \sqrt{2\pi}. É, portanto, uma parábola de vértice em (0,-2), aberta para cima.
Passo 3
A posição é \mathbf r(t)=(\sqrt t,\;t-2). Derivando em t dá o vetor tangente