1^{\underline{a}} Questão: A temperatura T(x, y) em um ponto P(x, y) de uma placa metálica é medida em Celsius \left({ }^{o} C\right). Uma carga elétrica se move ao longo desta placa metálica, segundo uma curva, de modo que sua posição após t segundos é dada por
x=x(t)=\sqrt{t} \quad \text { e } \quad y=y(t)=t-2
em que x e y são medidos em metros e t \in[0,2 \pi]. A funçao T(x, y) satisfaz T_{x}(2,2)=2 e T_{y}(2,2)=3.
(a) ( 2,0 pontos) Esboce o caminho percorrido pela carga elétrica e justifique determinando sua equação cartesiana.
(b) ( 2,0 pontos) Determine o vetor tangente à curva em cada ponto (x(t), y(t)), t \in[0,2 \pi].
(c) ( 6,0 pontos) Determine a taxa de variação da temperatura ao longo do percurso da carga elétrica em t=4. Neste instante de tempo, a temperatura está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura T(x,y) numa placa metálica e uma carga que se move segundo a curva parametrizada por
x(t)=\sqrt{t},\quad y(t)=t-2,\quad t\in[0,2\pi].
Precisamos de (a) obter a equação cartesiana do trajeto e esboçá-lo, (b) encontrar o vetor tangente \mathbf v(t), e (c) usar a regra da cadeia para calcular \dfrac{dT}{dt} em t=4 e dizer se T aumenta ou diminui.

Passo 2

Para escrever y em função de x, isolamos t em x=\sqrt{t}, obtendo t=x^2. Substituindo em y=t-2 vem
y=x^2-2,
com x\ge0 variando até \sqrt{2\pi}. É, portanto, uma parábola de vértice em (0,-2), aberta para cima.

Passo 3

A posição é \mathbf r(t)=(\sqrt t,\;t-2). Derivando em t dá o vetor tangente
\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)=\Bigl(\tfrac{d}{dt}\sqrt t,\;\tfrac{d}{dt}(t-2)\Bigr) =\Bigl(\tfrac1{2\sqrt t},\;1\Bigr),
válido para t>0.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dT}{dt} =T_x\,\frac{dx}{dt}+T_y\,\frac{dy}{dt}.
Em t=4 temos (x,y)=(2,2), \tfrac{dx}{dt}=\tfrac1{2\sqrt4}=\tfrac14 e \tfrac{dy}{dt}=1. Como T_x(2,2)=2 e T_y(2,2)=3,
\frac{dT}{dt}\Big|_{t=4} =2\cdot\tfrac14+3\cdot1 =\tfrac12+3 =\tfrac72>0.
Logo, a temperatura está aumentando nesse instante.

Resposta

(a) y=x^2-2,\\\ 0\le x\le\sqrt{2\pi}.
(b) \mathbf v(t)=\bigl(\tfrac1{2\sqrt t},1\bigr).
(c) \dfrac{dT}{dt}(4)=\tfrac72, e a temperatura está aumentando.

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