3ª Questão:
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. As informações explícitas são:
- A equação é
- Não há condições iniciais; pedem a solução geral (ou seja, a família de todas as soluções).
Isso é tudo o que o enunciado fornece.
Passo 2
Uma estratégia clássica e eficiente para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Vou explicar por que isso costuma funcionar.
Raciocínio: exponenciais têm a propriedade simples de que derivadas são múltiplos da própria exponencial:
Assim, se substituirmos
na equação diferencial, todos os termos terão um fator comum
, que não é zero, e isso nos leva a uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica é chamada de equação característica e suas raízes dizem quais exponenciais resolvem a equação diferencial.
Passo 3
Calcule as derivadas de
e substitua na equação:
Substituindo em
obtemos
Colocando
em evidência:
Como
para todo
, resta a equação algébrica (a equação característica)
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação as raízes são
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
Aqui
,
(atenção ao sinal) e
. Calculamos o discriminante:
Aplicando a fórmula:
Portanto as duas raízes são
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, as funções
e
são soluções independentes da equação diferencial linear homogênea, e a solução geral é a combinação linear dessas duas:
onde
e
são constantes arbitrárias reais (determinadas por condições iniciais, se existissem).
Substituindo as raízes encontradas:
Passo 6
Para ficar confiante, vale verificar rapidamente que cada termo funciona isoladamente. Por exemplo, para
temos
,
e
Para
temos
,
e
Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear dessas soluções também é solução, confirmando a forma geral encontrada.