3ª Questão:
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. As informações explícitas são:
  • A equação é 2\,y''-3\,y'+y=0.
  • Não há condições iniciais; pedem a solução geral (ou seja, a família de todas as soluções).
    Isso é tudo o que o enunciado fornece.

Passo 2

Uma estratégia clássica e eficiente para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma \displaystyle y(x)=e^{r x}, onde r é um número que vamos determinar. Vou explicar por que isso costuma funcionar.
Raciocínio: exponenciais têm a propriedade simples de que derivadas são múltiplos da própria exponencial:
\frac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}.
Assim, se substituirmos y=e^{r x} na equação diferencial, todos os termos terão um fator comum e^{r x}, que não é zero, e isso nos leva a uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica e suas raízes dizem quais exponenciais resolvem a equação diferencial.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(x)=e^{r x} e substitua na equação:
y=e^{r x},\qquad y'=r e^{r x},\qquad y''=r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;2\,y''-3\,y'+y=0\; obtemos
2\,(r^{2} e^{r x})-3\,(r e^{r x})+(e^{r x})=0.
Colocando e^{r x} em evidência:
e^{r x}\bigl(2r^{2}-3r+1\bigr)=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, resta a equação algébrica (a equação característica)
2r^{2}-3r+1=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \;2r^{2}-3r+1=0\;.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \;a r^{2}+b r + c = 0\; as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=2, b=-3 (atenção ao sinal) e c=1. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot1=9-8=1.
Aplicando a fórmula:
r=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{3\pm1}{4}.
Portanto as duas raízes são
r_{1}=\frac{3+1}{4}=1, \qquad r_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes da equação diferencial linear homogênea, e a solução geral é a combinação linear dessas duas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (determinadas por condições iniciais, se existissem).
Substituindo as raízes encontradas:
y(x)=C_{1}e^{1\cdot x}+C_{2}e^{\tfrac{1}{2}x}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{x/2}.

Passo 6

Para ficar confiante, vale verificar rapidamente que cada termo funciona isoladamente. Por exemplo, para y=e^{x} temos y'=e^{x}, y''=e^{x} e
2y''-3y'+y=2e^{x}-3e^{x}+e^{x}=0.
Para y=e^{x/2} temos y'=\tfrac{1}{2}e^{x/2}, y''=\tfrac{1}{4}e^{x/2} e
2y''-3y'+y=2\cdot\tfrac{1}{4}e^{x/2}-3\cdot\tfrac{1}{2}e^{x/2}+e^{x/2}=\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}+1\bigr)e^{x/2}=0.
Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear dessas soluções também é solução, confirmando a forma geral encontrada.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{x/2}

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