Questão: Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: encontre a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas partes:
e a constante .
O objetivo é encontrar a família de soluções geraisque satisfaça essa equação.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática, sem pular etapas):
- Para equações lineares com lado direito que é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos, um método eficiente é o método dos coeficientes indeterminados: escolhe-se uma forma de tentativa (ansatz) para uma solução particular com parâmetros a determinar.
- Aqui o lado direito é
. Para a parte tenta-se uma ansatz do tipo multiplicado por um polinômio de grau 2. Para a constante tenta-se uma constante como ansatz. - Antes disso, resolvemos a equação homogênea associada para obter a solução complementar (homogênea), que dará os termos da solução geral que correspondem à parte homogênea.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Montamos a equação característica associada:
.\n
As raízes são
As raízes são
Para raízes complexas conjugadas
com
a solução homogênea é uma combinação de seno e cosseno:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolher a forma da solução particular (ansatz) e explicar por quê:
- Para a parte
: como temos um polinômio de grau 2 multiplicando e não é raiz da equação característica (as raízes foram , não ), então a forma tentativa é
com constantes
a determinar.
- Para a parte constante
: tenta-se uma constante
com
a determinar.
Assim a solução particular busca-se na forma
Assim a solução particular busca-se na forma
Passo 5
Calcular derivadas de
de forma organizada (usar regra do produto) e simplificar antes de substituir:
Defina . Então
Defina
Derivando uma vez (regra do produto):
Derivando novamente:
Calcule
. Assim
Passo 6
Substituir
,
na equação
e agrupar termos:
Agrupando os termos com
e o termo constante:
Isso deve ser igual ao lado direito da equação original:
Como a igualdade vale para todo
, equacionamos separadamente os coeficientes da parte multiplicada por
e os termos constantes:
Passo 7
Determinar
e os coeficientes
do polinômio
.
Primeiro
:
Agora substitua
. Calcule
e
:
Substituindo em
:
Expanda e junte termos por potências de
:
Igualando coeficientes de potências iguais obtemos o sistema:
Resolva passo a passo:
- Da primeira equação:
- Da segunda:
logo
- Da terceira:
Calcule os termos do lado direito:
Logo
portanto
Passo 8
Resumo dos resultados parciais (sem repetir a resposta final combinada):
- Solução homogênea:
- Solução particular encontrada: