4{ }^{\text {a }} Questão: Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}+6

Passo 1

O enunciado pede: encontre a solução geral da equação diferencial
y'' + 9y = t^{2} e^{3t} + 6.
Informações dadas:
  • A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas partes: \,t^{2} e^{3t}\, e a constante 6.
    O objetivo é encontrar a família de soluções gerais y(t) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para equações lineares com lado direito que é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos, um método eficiente é o método dos coeficientes indeterminados: escolhe-se uma forma de tentativa (ansatz) para uma solução particular com parâmetros a determinar.
  • Aqui o lado direito é \,t^{2}e^{3t}+6. Para a parte \,t^{2}e^{3t} tenta-se uma ansatz do tipo e^{3t} multiplicado por um polinômio de grau 2. Para a constante 6 tenta-se uma constante como ansatz.
  • Antes disso, resolvemos a equação homogênea associada para obter a solução complementar (homogênea), que dará os termos da solução geral que correspondem à parte homogênea.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y'' + 9y = 0.
Montamos a equação característica associada: \,r^{2}+9=0.\n
As raízes são
r=\pm 3i.
Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta com \alpha=0,\beta=3 a solução homogênea é uma combinação de seno e cosseno:
y_{h}(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolher a forma da solução particular (ansatz) e explicar por quê:
  • Para a parte \,t^{2}e^{3t}: como temos um polinômio de grau 2 multiplicando e^{3t} e 3 não é raiz da equação característica (as raízes foram \pm 3i, não 3), então a forma tentativa é
y_{p1}(t)=e^{3t}\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr),
com constantes A,B,C a determinar.
  • Para a parte constante 6: tenta-se uma constante
y_{p2}(t)=D,
com D a determinar.
Assim a solução particular busca-se na forma
y_{p}(t)=e^{3t}\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr)+D.

Passo 5

Calcular derivadas de y_{p} de forma organizada (usar regra do produto) e simplificar antes de substituir:
Defina p(t)=A t^{2}+B t + C. Então
y_{p}(t)=e^{3t}p(t)+D.
Derivando uma vez (regra do produto):
y_{p}'(t)=\bigl(e^{3t}\bigr)'p(t)+e^{3t}p'(t)=3e^{3t}p(t)+e^{3t}p'(t)=e^{3t}\bigl(3p+p'\bigr).
Derivando novamente:
y_{p}''(t)=\bigl(e^{3t}\bigl(3p+p'\bigr)\bigr)' = e^{3t}\bigl(3(3p+p')+(3p+p')'\bigr).
Calcule (3p+p')' = 3p' + p''. Assim
y_{p}''(t)=e^{3t}\bigl(9p+3p' +3p' + p''\bigr)=e^{3t}\bigl(9p+6p'+p''\bigr).

Passo 6

Substituir y_{p}, y_{p}'' na equação y''+9y e agrupar termos:
y_{p}''+9y_{p} = e^{3t}\bigl(9p+6p'+p''\bigr) + 9\bigl(e^{3t}p + D\bigr).
Agrupando os termos com e^{3t} e o termo constante:
y_{p}''+9y_{p} = e^{3t}\bigl(9p+6p'+p''+9p\bigr) + 9D = e^{3t}\bigl(18p+6p'+p''\bigr) + 9D.
Isso deve ser igual ao lado direito da equação original:
t^{2}e^{3t} + 6.
Como a igualdade vale para todo t, equacionamos separadamente os coeficientes da parte multiplicada por e^{3t} e os termos constantes:
e^{3t}:\quad 18p+6p'+p'' = t^{2},
\text{constante:}\quad 9D = 6.

Passo 7

Determinar D e os coeficientes A,B,C do polinômio p(t).
Primeiro D:
9D=6 \quad\Rightarrow\quad D=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.
Agora substitua p(t)=A t^{2}+B t + C. Calcule p' e p'':
p'(t)=2A t + B,\qquad p''(t)=2A.
Substituindo em 18p+6p'+p''=t^{2}:
18\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr) + 6\bigl(2A t + B\bigr) + 2A = t^{2}.
Expanda e junte termos por potências de t:
(18A) t^{2} + (18B + 12A) t + (18C + 6B + 2A) = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0.
Igualando coeficientes de potências iguais obtemos o sistema:
\begin{cases} 18A = 1,\\[4pt] 18B + 12A = 0,\\[4pt] 18C + 6B + 2A = 0. \end{cases}
Resolva passo a passo:
  • Da primeira equação:
A=\dfrac{1}{18}.
  • Da segunda:
18B + 12A = 0 \quad\Rightarrow\quad 18B = -12A = -12\cdot\dfrac{1}{18} = -\dfrac{12}{18} = -\dfrac{2}{3},
logo
B = -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{18} = -\dfrac{2}{54} = -\dfrac{1}{27}.
  • Da terceira:
18C + 6B + 2A = 0 \quad\Rightarrow\quad 18C = -6B - 2A.
Calcule os termos do lado direito:
6B = 6\left(-\dfrac{1}{27}\right) = -\dfrac{6}{27} = -\dfrac{2}{9}, \qquad 2A = 2\cdot\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{9}.
Logo
18C = -\left(-\dfrac{2}{9}\right) - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{9},
portanto
C = \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{162}.]

Passo 8

Resumo dos resultados parciais (sem repetir a resposta final combinada):
  • Solução homogênea:
y_{h}(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t).
  • Solução particular encontrada:
y_{p}(t)=e^{3t}\!\left(\dfrac{1}{18}t^{2}-\dfrac{1}{27}t+\dfrac{1}{162}\right)+\dfrac{2}{3}.

Resposta

y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)+e^{3t}\!\left(\dfrac{1}{18}t^{2}-\dfrac{1}{27}t+\dfrac{1}{162}\right)+\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados