10.4 (a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 90 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 70 MPa . (b) Resolva a parte
considerando que o eixo de seção cheia foi substituido por um eixo vazado com a mesma massa e com um diâmetro interno 90 mm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro
sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de
; (b) repetir o cálculo da parte (a) considerando que o eixo maciço foi substituído por um eixo vazado que tem o mesmo massa (mesma massa linear, logo mesma área da seção transversal) e cujo diâmetro interno é
.
Informações fornecidas (tudo o que podemos usar):
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessárias (explicação didática e passo a passo).
- Relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima:
onde
-
é a máxima tensão de cisalhamento na superfície do eixo (unidade ), -
é o torque aplicado (unidade ), -
é o raio externo do eixo (unidade ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade ).
Essa fórmula vem da teoria da torção para eixos prismaticos: o esforço cortante em uma fibra na superfície é proporcional ao torque vezes a distância ao eixo dividido pela rigidez geométrica
.
- Momento polar de inércia para seção circular maciça de diâmetro
:
Explicação: é uma fórmula padrão obtida integrando
na seção circular.
- Momento polar de inércia para seção circular vazada (anel) com diâmetro externo
e interno :
Explicação: é a diferença entre o
do círculo externo e do círculo interno.
- Isolando o torque
na equação temos:
Usaremos essa expressão para calcular
tanto no caso maciço quanto no vazado.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): eixo de seção cheia com
.
- Calculemos o raio:
- Calculemos
para a seção maciça:
Não precisamos expandir imediatamente; mais adiante substituiremos numericamente.
- Isolando
:
Observação didática: eu simplifiquei
e o
.
- Substituindo números (usar unidades consistentes
, para obter em ):
- Calculemos passo a passo:
- Converter para
(dividir por ):
Em unidades mais amigáveis:
Passo 4
Preparando a parte (b): eixo vazado com mesma massa.
-
Observação física importante: para mesmo comprimento e mesmo material, ter a mesma massa significa ter a mesma área da seção transversal. Assim, área da seção maciça
deve ser igual à área da seção vazada . -
Área da seção maciça:
- Área da seção vazada:
onde
é o diâmetro externo que precisamos achar e
é o diâmetro interno dado (
, segundo o enunciado da parte (b)).
- Igualando áreas
:
- Substituindo
e :
Portanto o eixo vazado que tem mesmo massa que o eixo maciço e diâmetro interno
deve ter diâmetro externo
.
Passo 5
Calculando o torque admissível para o eixo vazado (usar
encontrado).
- Momento polar de inércia do vazado:
- Raio externo:
- Torque admissível:
- Observação algébrica útil (simplifica contas): como
e aqui , temos . Consequentemente:
E
Logo
Substituindo na expressão de
:
Mas
, então
Compare com
. Assim
Essa relação é útil: o eixo vazado (com mesmas massa e
) aceita um torque maior por conta do maior diâmetro externo.
- Usando o valor numérico já obtido para
:
- Multiplicando:
Em unidades práticas: