10.4 (a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 90 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 70 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que o eixo de seção cheia foi substituido por um eixo vazado com a mesma massa e com um diâmetro interno 90 mm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro 90\\ \text{mm} sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 70\\ \text{MPa}; (b) repetir o cálculo da parte (a) considerando que o eixo maciço foi substituído por um eixo vazado que tem o mesmo massa (mesma massa linear, logo mesma área da seção transversal) e cujo diâmetro interno é 90\\ \text{mm}.
Informações fornecidas (tudo o que podemos usar):
\text{diâmetro do eixo maciço: } d_s = 90\\ \text{mm},âç
\text{tensão de cisalhamento admissível: } \tau_{\text{adm}} = 70\\ \text{MPa} = 70\\ \text{N/mm}^2,ãí
\text{para a parte (b): diâmetro interno do eixo vazado: } d_i = 90\\ \text{mm},â
\text{o eixo vazado tem a mesma massa que o eixo maciço (mesma área de seção transversal).}çáçã

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (explicação didática e passo a passo).
  1. Relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima:
\tau_{\max} = \frac{T\; c}{J},
onde
  • \tau_{\max} é a máxima tensão de cisalhamento na superfície do eixo (unidade \text{N/mm}^2),
  • T é o torque aplicado (unidade \text{N}\cdot\text{mm}),
  • c é o raio externo do eixo (unidade \text{mm}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade \text{mm}^4).
Essa fórmula vem da teoria da torção para eixos prismaticos: o esforço cortante em uma fibra na superfície é proporcional ao torque vezes a distância ao eixo dividido pela rigidez geométrica J.
  1. Momento polar de inércia para seção circular maciça de diâmetro d:
J_{\text{maciço}} = \frac{\pi}{32}\, d^4.ç
Explicação: é uma fórmula padrão obtida integrando r^2 na seção circular.
  1. Momento polar de inércia para seção circular vazada (anel) com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{vazado}} = \frac{\pi}{32}\,\bigl(d_o^4 - d_i^4\bigr).
Explicação: é a diferença entre o J do círculo externo e do círculo interno.
  1. Isolando o torque T na equação \tau = T c / J temos:
T = \frac{\tau\, J}{c}.
Usaremos essa expressão para calcular T tanto no caso maciço quanto no vazado.

Passo 3

Resolvendo a parte (a): eixo de seção cheia com d_s=90\\ \text{mm}.
  1. Calculemos o raio:
c_s = \frac{d_s}{2} = \frac{90}{2} = 45\\ \text{mm}.
  1. Calculemos J para a seção maciça:
J_s = \frac{\pi}{32}\, d_s^4 = \frac{\pi}{32}\,(90)^4.
Não precisamos expandir imediatamente; mais adiante substituiremos numericamente.
  1. Isolando T:
T_s = \frac{\tau_{\text{adm}}\, J_s}{c_s} = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\frac{\pi}{32} d_s^4}{d_s/2} = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\, d_s^3.
Observação didática: eu simplifiquei d_s^4/(d_s/2) = 2 d_s^3 e o \frac{\pi}{32}\cdot 2 = \frac{\pi}{16}.
  1. Substituindo números (usar unidades consistentes \text{N/mm}^2, \text{mm} para obter T em \text{N}\cdot\text{mm}):
T_s = \frac{\pi}{16}\cdot 70\cdot 90^3\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Calculemos passo a passo:
90^3 = 729000,
\frac{\pi}{16} \approx 0{,}1963495408,
\frac{\pi}{16}\cdot 70 \approx 13{,}7444678595,
T_s \approx 13{,}7444678595 \times 729000 \approx 10\,019\,717{,}07\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Converter para \text{N}\cdot\text{m} (dividir por 1000):
T_s \approx 10\,019{,}717{,}07\\ \text{N}\cdot\text{mm} = 10\,019{,}717{,}07/1000\\ \text{N}\cdot\text{m} \approx 10\,019{,}72\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Em unidades mais amigáveis:
T_s \approx 10{,}02\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 4

Preparando a parte (b): eixo vazado com mesma massa.
  1. Observação física importante: para mesmo comprimento e mesmo material, ter a mesma massa significa ter a mesma área da seção transversal. Assim, área da seção maciça A_s deve ser igual à área da seção vazada A_h.
  2. Área da seção maciça:
A_s = \frac{\pi}{4}\, d_s^2 = \frac{\pi}{4}\,(90)^2.
  1. Área da seção vazada:
A_h = \frac{\pi}{4}\,\bigl(d_o^2 - d_i^2\bigr),
onde d_o é o diâmetro externo que precisamos achar e d_i é o diâmetro interno dado ( d_i=90\\ \text{mm}, segundo o enunciado da parte (b)).
  1. Igualando áreas A_h = A_s:
\frac{\pi}{4}\,\bigl(d_o^2 - d_i^2\bigr) = \frac{\pi}{4}\, d_s^2
\Rightarrow d_o^2 - d_i^2 = d_s^2
\Rightarrow d_o^2 = d_s^2 + d_i^2.
  1. Substituindo d_s = 90\\ \text{mm} e d_i = 90\\ \text{mm}:
d_o^2 = 90^2 + 90^2 = 2\cdot 90^2,
d_o = 90\sqrt{2} \approx 127{,}2792206\\ \text{mm}.
Portanto o eixo vazado que tem mesmo massa que o eixo maciço e diâmetro interno 90\\ \text{mm} deve ter diâmetro externo d_o \approx 127{,}279\\ \text{mm}.

Passo 5

Calculando o torque admissível para o eixo vazado (usar d_o encontrado).
  1. Momento polar de inércia do vazado:
J_h = \frac{\pi}{32}\,\bigl(d_o^4 - d_i^4\bigr).
  1. Raio externo:
c_h = \frac{d_o}{2}.
  1. Torque admissível:
T_h = \frac{\tau_{\text{adm}}\, J_h}{c_h} = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\frac{\pi}{32}\,\bigl(d_o^4 - d_i^4\bigr)}{d_o/2} = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,\frac{d_o^4 - d_i^4}{d_o}.
  1. Observação algébrica útil (simplifica contas): como d_o^2 = d_s^2 + d_i^2 e aqui d_s=d_i=90\\ \text{mm}, temos d_o^2 = 2\cdot 90^2. Consequentemente:
d_o^4 = (d_o^2)^2 = (2\cdot 90^2)^2 = 4\cdot 90^4.
E
d_i^4 = 90^4.
Logo
d_o^4 - d_i^4 = 4\cdot 90^4 - 90^4 = 3\cdot 90^4.
Substituindo na expressão de T_h:
T_h = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,\frac{3\cdot 90^4}{d_o}.
Mas d_o = 90\sqrt{2}, então
T_h = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,\frac{3\cdot 90^4}{90\sqrt{2}} = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,\frac{3\cdot 90^3}{\sqrt{2}}.
Compare com T_s = \tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,90^3. Assim
T_h = T_s\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}.
Essa relação é útil: o eixo vazado (com mesmas massa e d_i=d_s) aceita um torque maior por conta do maior diâmetro externo.
  1. Usando o valor numérico já obtido para T_s:
T_h = 10\,019\,717{,}07\\ \text{N}\cdot\text{mm}\times\frac{3}{\sqrt{2}} \approx 10\,019\,717{,}07\times 2{,}1213203436\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Multiplicando:
T_h \approx 21\,245\,000{,}00\\ \text{N}\cdot\text{mm} \approx 21\,245{,}00\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Em unidades práticas:
T_h \approx 21{,}245\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Resposta

T_{\text{(a)}} \approx 10\,019{,}72\\ \text{N}\cdot\text{m}
T_{\text{(b)}} \approx 21\,245{,}00\\ \text{N}\cdot\text{m}

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