1. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca retangular reforçada que custa R$30,00 o metro linear, enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de \mathrm{R} \20,00 o metro linear. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado comãõá\mathrm{R} $ 60.000,00 ? (\mathbf{2 , 0}$ pontos)

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular a ser cercado e pede: quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com \mathrm{R}\$60000,00, sabendo que dois lados opostos recebem cerca reforçada que custa \mathrm{R}\$30{,}00 por metro linear e os outros dois lados recebem cerca padrão que custa \mathrm{R}\$20{,}00 por metro linear.
Informações relevantes fornecidas:
  • O terreno é um retângulo (tem dois pares de lados opostos).
  • Custos das cercas por metro linear: reforçada = \mathrm{R}\$30{,}00, padrão = \mathrm{R}\$20{,}00.
  • Duas laterais opostas recebem cerca reforçada e as outras duas recebem cerca padrão.
  • Orçamento total disponível: \mathrm{R}\$60.000{,}00.
  • O objetivo é escolher as dimensões que maximizem a área do retângulo sujeita à restrição de custo.

Passo 2

Definimos variáveis para traduzir o problema a equações (sempre útil para não se perder):
  • Seja x o comprimento (em metros) dos lados que recebem a cerca reforçada. Como são dois lados opostos, há dois segmentos de comprimento x.
  • Seja y o comprimento (em metros) dos lados que recebem a cerca padrão. Também há dois desses (os outros dois lados opostos).
Assim cada lado está representado por x ou y e o retângulo tem área
A = x y.
Explico: área de um retângulo é o produto da medida de um lado pela medida do lado adjacente; aqui escolhemos x e y.

Passo 3

Agora escrevemos a restrição de custo usando as variáveis. O custo total é soma dos custos das quatro laterais:
  • Custo das duas laterais reforçadas: 2\cdot 30\cdot x.
  • Custo das duas laterais padrão: 2\cdot 20\cdot y.
Portanto a equação do orçamento é
2\cdot 30\cdot x + 2\cdot 20\cdot y = 60000.
Faço as multiplicações simples:
60x + 40y = 60000.
Para simplificar, divido toda a equação por 20 (isso torna os números menores e mais fáceis de manipular):
3x + 2y = 3000.

Passo 4

Queremos maximizar A=xy sujeito à restrição linear acima. Vamos eliminar y em favor de x (reduzir para uma variável) usando a restrição. Isolo y em
3x+2y=3000 \quad\Rightarrow\quad 2y = 3000-3x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3000-3x}{2}.
Agora substituo na fórmula da área:
A(x) = x\cdot y = x\cdot \frac{3000-3x}{2}.
Multiplico e reorganizo para ver a forma da função:
A(x) = \frac{3000x - 3x^{2}}{2}.
Posso escrever de forma mais clara:
A(x) = 1500x - \tfrac{3}{2}x^{2}.
Isso é um polinômio quadrático em x. Uma parábola com coeficiente do termo x^{2} negativo (porque -\tfrac{3}{2}<0), então essa parábola tem um máximo (ótimo) em vez de mínimo.

Passo 5

Para encontrar o máximo de uma função quadrática, há dois caminhos clássicos: (a) calcular o vértice completando o quadrado; (b) derivar e igualar a zero (primeira derivada). Vou usar derivada porque é direto e é a técnica padrão em otimização. Explico o que é: a derivada A'(x) mede a taxa de variação da área quando mudamos um pouco x; onde essa taxa é zero pode haver um máximo ou mínimo. Calculamos:
A'(x) = \frac{d}{dx}\left(1500x - \tfrac{3}{2}x^{2}\right) = 1500 - 3x.
Ponho A'(x)=0 para achar pontos críticos:
1500 - 3x = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x = 1500 \quad\Rightarrow\quad x = 500.
Interpretação: quando x=500 m a área deixa de aumentar ao variar x (taxa zero); pode ser máximo.

Passo 6

Confirmamos que é máximo verificando a segunda derivada (teste da segunda derivada):
A''(x) = \frac{d}{dx}(1500 - 3x) = -3.
Como A''(x) = -3 < 0, a função é côncava para baixo em todo lugar, logo o ponto crítico x=500 é um máximo global para a área dentro das possibilidades físicas (e x>0).

Passo 7

Agora encontramos y correspondente substituindo x=500 na equação da restrição que isolou y:
y = \frac{3000 - 3x}{2} = \frac{3000 - 3\cdot 500}{2} = \frac{3000 - 1500}{2} = \frac{1500}{2} = 750.
Portanto os comprimentos ótimos são x=500 m para os lados com cerca reforçada e y=750 m para os lados com cerca padrão.

Passo 8

Como verificação rápida: podemos checar o custo total com esses valores:
\text{custo} = 2\cdot 30\cdot 500 + 2\cdot 20\cdot 750 = 60\cdot 500 + 40\cdot 750 = 30000 + 30000 = 60000,
que é exatamente o orçamento disponível — bom sinal. A área máxima alcançada é
A_{\max} = 500 \cdot 750 = 375000\\ \text{m}^{2},
se quiser confirmar o valor numérico da área.

Resposta

Lados com cerca reforçada: 500\\ \text{m}
Lados com cerca padrão: 750\\ \text{m}

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