- Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca retangular reforçada que custa R$30,00 o metro linear, enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de
20,00
\mathrm{R} $ 60.000,00
\mathbf{2 , 0}$ pontos)
Passo 1
O enunciado dá um terreno retangular a ser cercado e pede: quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com
, sabendo que dois lados opostos recebem cerca reforçada que custa
por metro linear e os outros dois lados recebem cerca padrão que custa
por metro linear.
Informações relevantes fornecidas:
- O terreno é um retângulo (tem dois pares de lados opostos).
- Custos das cercas por metro linear: reforçada =
, padrão = . - Duas laterais opostas recebem cerca reforçada e as outras duas recebem cerca padrão.
- Orçamento total disponível:
. - O objetivo é escolher as dimensões que maximizem a área do retângulo sujeita à restrição de custo.
Passo 2
Definimos variáveis para traduzir o problema a equações (sempre útil para não se perder):
- Seja
o comprimento (em metros) dos lados que recebem a cerca reforçada. Como são dois lados opostos, há dois segmentos de comprimento . - Seja
o comprimento (em metros) dos lados que recebem a cerca padrão. Também há dois desses (os outros dois lados opostos).
Assim cada lado está representado por
ou
e o retângulo tem área
Explico: área de um retângulo é o produto da medida de um lado pela medida do lado adjacente; aqui escolhemos
e
.
Passo 3
Agora escrevemos a restrição de custo usando as variáveis. O custo total é soma dos custos das quatro laterais:
- Custo das duas laterais reforçadas:
. - Custo das duas laterais padrão:
.
Portanto a equação do orçamento é
Faço as multiplicações simples:
Para simplificar, divido toda a equação por
(isso torna os números menores e mais fáceis de manipular):
Passo 4
Queremos maximizar
sujeito à restrição linear acima. Vamos eliminar
em favor de
(reduzir para uma variável) usando a restrição. Isolo
em
Agora substituo na fórmula da área:
Multiplico e reorganizo para ver a forma da função:
Posso escrever de forma mais clara:
Isso é um polinômio quadrático em
. Uma parábola com coeficiente do termo
negativo (porque
), então essa parábola tem um máximo (ótimo) em vez de mínimo.
Passo 5
Para encontrar o máximo de uma função quadrática, há dois caminhos clássicos: (a) calcular o vértice completando o quadrado; (b) derivar e igualar a zero (primeira derivada). Vou usar derivada porque é direto e é a técnica padrão em otimização. Explico o que é: a derivada
mede a taxa de variação da área quando mudamos um pouco
; onde essa taxa é zero pode haver um máximo ou mínimo. Calculamos:
Ponho
para achar pontos críticos:
Interpretação: quando
m a área deixa de aumentar ao variar
(taxa zero); pode ser máximo.
Passo 6
Confirmamos que é máximo verificando a segunda derivada (teste da segunda derivada):
Como
, a função é côncava para baixo em todo lugar, logo o ponto crítico
é um máximo global para a área dentro das possibilidades físicas (e
).
Passo 7
Agora encontramos
correspondente substituindo
na equação da restrição que isolou
:
Portanto os comprimentos ótimos são
m para os lados com cerca reforçada e
m para os lados com cerca padrão.
Passo 8
Como verificação rápida: podemos checar o custo total com esses valores:
que é exatamente o orçamento disponível — bom sinal. A área máxima alcançada é
se quiser confirmar o valor numérico da área.
Resposta
Lados com cerca reforçada:
Lados com cerca padrão:
Lados com cerca padrão: