8^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:
Uma antena parabólica de 20 m de diâmetro recebe, em incidência normal, o sinal de rádio de uma fonte distante. O sinal é uma onda senoidal contínua, com amplitude \mathrm{E} 0=0,2 \mathrm{mV} / \mathrm{m}. A antena absorve toda a radiação incidente sobre o coletor parabólico. Calcular:
d) a força que as ondas de rádio exercem sobre a antena.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força que as ondas de rádio exercem sobre a antena. Dados fornecidos:
  • Diâmetro do coletor parabólico: 20\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude do campo elétrico da onda (incidência normal): E_0 = 0{,}2\\ \mathrm{mV/m}.
  • A antena absorve toda a radiação incidente (ou seja, superfície perfeitamente absorvente).
  • A fonte é distante, portanto a onda incidentes pode ser tratada como um plano eletromagnético.
    O que queremos encontrar: a força resultante F exercida pelas ondas sobre a antena.

Passo 2

Conceito útil — intensidade média (fluxo de energia) de uma onda eletromagnética e relação com E_0.
Para uma onda plana senoidal em vácuo, a intensidade média (valor médio do vetor de Poynting) é dada por
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,\epsilon_0 c\,E_0^2,
onde:
  • \langle S\rangle é a intensidade média em \mathrm{W/m^2},
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • c é a velocidade da luz ( c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • E_0 é a amplitude do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
Explicação rápida e intuitiva: a intensidade é a energia por unidade de área e por unidade de tempo transportada pela onda; a fórmula acima resulta da relação entre campos elétrico e magnético na onda e do fato de que a energia média depende de E_0^2.
Observação alternativa (equivalente): \langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{E_0^2}{Z_0}, com Z_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx377\\ \Omega. Ambas as formas são equivalentes porque 1/Z_0=\epsilon_0 c.

Passo 3

Converter E_0 para unidades SI (volt por metro):
E_0=0{,}2\\ \mathrm{mV/m}=0{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{V/m}.
Calcular E_0^2:
E_0^2=\left(2{,}0\times10^{-4}\right)^2=4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{(V/m)^2}.

Passo 4

Calcular a intensidade média usando \langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\epsilon_0 c E_0^2.
Primeiro calcular \epsilon_0 c:
\epsilon_0 c=(8{,}854\times10^{-12})\times(3{,}00\times10^{8})=2{,}6562\times10^{-3}\\ (\text{em unidades SI}).
Então
\frac{1}{2}\epsilon_0 c=1{,}3281\times10^{-3}.
Multiplicando por E_0^2:
\langle S\rangle=(1{,}3281\times10^{-3})\times(4{,}0\times10^{-8})=5{,}3124\times10^{-11}\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando convenientemente:
\langle S\rangle\approx5{,}31\times10^{-11}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Relação entre intensidade e pressão de radiação para superfície absorvente.
Se uma superfície absorve toda a potência incidente, a pressão de radiação (força por unidade de área) é
p=\frac{\langle S\rangle}{c},
onde p está em \mathrm{N/m^2}. (Se a superfície refletisse perfeitamente, a pressão seria p=2\langle S\rangle/c. Aqui usamos p=\langle S\rangle/c porque o enunciado diz que a antena absorve toda a radiação.)

Passo 6

Calcular a área do coletor parabólico. Diâmetro D=20\\ \mathrm{m} implica raio r=10\\ \mathrm{m}. Área da abertura circular:
A=\pi r^2=\pi(10)^2=100\pi\\ \mathrm{m^2}\approx314{,}16\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Agora montamos a expressão da força total F sobre a antena:
F=pA=\frac{\langle S\rangle}{c}\,A=\frac{\langle S\rangle A}{c}.
Substituindo os valores numéricos intermediários:
\langle S\rangle\approx5{,}3124\times10^{-11}\\ \mathrm{W/m^2}, \qquad A\approx314{,}16\\ \mathrm{m^2}, \qquad c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Calcular \langle S\rangle A:
\langle S\rangle A\approx(5{,}3124\times10^{-11})\times(314{,}16)=1{,}6678\times10^{-8}\\ \mathrm{W}.
Dividindo por c para obter a força:
F=\frac{1{,}6678\times10^{-8}}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{N}.

Resposta

F\approx5{,}56\times10^{-17}\\ \mathrm{N}

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