3^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:

(a) Esboce a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-2 z=3
(b) Determine a equação da curva obtida pela interseção da superfície com o plano x=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Esboçar a superfície definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-2y-2z=3.
  2. (b) Determinar a equação da curva obtida pela interseção dessa superfície com o plano x=1.
Informações dadas no enunciado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-2y-2z=3.
E o plano de interseção:
x=1.
Vou trabalhar com esses dados para (a) identificar que tipo de superfície é e suas características (centro, raio, etc.) e para (b) obter explicitamente a equação da curva no plano x=1.

Passo 2

Vamos transformar a equação dada completando quadrados — passo fundamental para identificar centros e raios quando aparecem termos quadráticos e lineares. Lembra: completar quadrado em uma variável u com termo u^{2}+bu fazíamos
u^{2}+bu = (u+\tfrac{b}{2})^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aplicando isso para cada variável na nossa equação:
Começo separando termos por variável:
x^{2}-4x \;+\; y^{2}-2y \;+\; z^{2}-2z \;=\; 3.
Agora completo o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 2^{2} = (x-2)^{2} - 4.
Em y:
y^{2}-2y = (y-1)^{2} - 1.
Em z:
z^{2}-2z = (z-1)^{2} - 1.
Substituo tudo na equação original:
\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + \bigl((y-1)^{2}-1\bigr) + \bigl((z-1)^{2}-1\bigr) = 3.
Somando os termos constantes do lado esquerdo (-4)+(-1)+(-1)=-6, obtemos
(x-2)^{2} + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} - 6 = 3.
Isolando os quadrados:
(x-2)^{2} + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9.

Passo 3

Interpretação geométrica (como esboçar): a equação obtida
(x-2)^{2} + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9
é a equação padrão de uma esfera no espaço com centro e raio visíveis:
  • centro C = (2,1,1),
  • raio R = 3 (porque 9 = 3^{2}).
Dica de esboço: marque o ponto C=(2,1,1) como centro. A esfera tem raio 3, então em cada eixo a interseção com as retas coordenadas acontece a uma distância 3 do centro. Em provas, desenhe um círculo que represente a “fatia” visível e indique o centro e o valor do raio. Não precisa de precisão absoluta, basta mostrar que é uma esfera centrada em C com raio 3.

Passo 4

Agora faço a interseção com o plano x=1. Substituo x=1 na equação da esfera. Peguei essa informação do enunciado (o plano x=1) e vou substituir na equação que já transformamos.
Partindo de
(x-2)^{2} + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9,
com x=1 temos
(1-2)^{2} + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9.
Calculo (1-2)^{2} = (-1)^{2} = 1. Então
1 + (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9.
Isolando os termos em y e z,
(y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 9 - 1 = 8.
Essa é a equação de um círculo no plano x=1 com centro em (1,1,1) e raio
\rho = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Uma forma alternativa (útil em prova) para ver isso é usar a distância do centro C=(2,1,1) ao plano x=1: a distância é |2-1|=1. A interseção esfera-plano, quando existe, é um círculo de raio \sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{8}, que coincide com o cálculo acima.

Passo 5

Se quiser a representação paramétrica do círculo (muito prática para esboço ou usar em integrais), podemos escrever para t\in[0,2\pi):
\begin{cases} x(t) = 1,\\[4pt] y(t) = 1 + \sqrt{8}\cos t = 1 + 2\sqrt{2}\cos t,\\[4pt] z(t) = 1 + \sqrt{8}\sin t = 1 + 2\sqrt{2}\sin t. \end{cases}
Isso descreve exatamente a curva de interseção no espaço.
Força aí — você já tem o centro e o raio da esfera e a equação/exemplo paramétrico do círculo; com isso dá pra desenhar e responder a prova com segurança.]

Resposta

(a) Esfera de centro (2,1,1) e raio 3.
(b) Interseção: \;x=1,\quad (y-1)^{2}+(z-1)^{2}=8 (círculo de centro (1,1,1) e raio 2\sqrt{2}).

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