5^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

A indústria da limpeza encerrou o ano de 2021 com os níveis de produção estáveis, quando comparados com 2020 e 2019. “O que é um grande resultado, quando comparado à produção industrial e ao próprio PIB nestes anos”, sublinha o diretor-executivo da Associação Brasileira das Indústrias de Produtos de Higiene, Limpeza e Saneantes de Uso Doméstico e de Uso Profissional (Abipla), Paulo Engler. A produção no setor já crescia mais do que a indústria em geral mesmo antes da pandemia. “Mas como um todo, ele tem registrado bons resultados, especialmente por conta de lançamentos e inovações da indústria. O setor de saneantes investe muito em Pesquisa e Desenvolvimento, então é um mercado que sempre recebe muitas novidades”, garante Engler.
Fonte: adaptado de: https://diariodocomercio.com.br/economia/industria-da-limpeza-mantem-estabilidade-no-pais/#gref. Acesso em: Agosto. 2024.
Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma de suas linhas de produção. As quantidades de detergente e sabonete líquido produzidos podem ser representadas, respectivamente, por x e y. A interdependência dessas variáveis é dada por 4 x^{2}+4 y=45.
Sendo as quantidades de materiais produzidas em milhares de litros, assinale a alternativa que representa quanto se deve produzir, aproximadamente de detergente, para que tal quantidade seja a metade da de sabonete líquido:

ALTERNATIVAS


2,5 milhares de litros.

3,11 milhares de litros.
◯ 4 milhares de litros.
◯ 6 milhares de litros.
◯ 6,5 milhares de litros.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre as quantidades produzidas de detergente e sabonete líquido por
4x^{2}+4y=45,
onde x é a quantidade de detergente (em milhares de litros) e y a quantidade de sabonete líquido (em milhares de litros). A pergunta é: quanto deve-se produzir de detergente para que essa quantidade seja a metade da quantidade de sabonete líquido? \n
Informações relevantes listadas: \n
  • Equação dada: \;4x^{2}+4y=45.\n
  • Unidade: todas as quantidades estão em milhares de litros.\n
  • Condição buscada: a quantidade de detergente é a metade da de sabonete líquido, ou seja, x é metade de y. (Não resolvemos nada aqui; só explicitamos o que é pedido.)

Passo 2

Interpretar a condição “detergente é a metade do sabonete” em fórmula. Se x é a metade de y, então podemos escrever
x=\tfrac{1}{2}y.
É mais conveniente isolar y; multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
y=2x.
Agora substituímos essa expressão de y na equação dada. A equação original é
4x^{2}+4y=45.
Substituindo y=2x obtemos, passo a passo,
4x^{2}+4(2x)=45.

Passo 3

Explicação da manipulação algébrica que faremos a seguir: precisamos simplificar a expressão e obter uma equação do tipo quadrática padrão \;ax^{2}+bx+c=0\; para poder aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula quadrática para resolver
ax^{2}+bx+c=0
é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \;a,\;b,\;c\; são números (coeficientes) da equação. O termo \Delta=b^{2}-4ac é chamado de discriminante; ele determina a natureza das raízes (se são reais e distintas, reais iguais ou complexas).

Passo 4

Voltemos à nossa equação substituída. Primeiro simplificamos:
4x^{2}+4(2x)=4x^{2}+8x=45.
Passando 45 para o lado esquerdo para ficar no formato padrão:
4x^{2}+8x-45=0.
Identificamos os coeficientes: \;a=4,\;b=8,\;c=-45.\n
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 4\cdot(-45)=64-4\cdot4\cdot(-45).
Como -4\cdot4\cdot(-45)=+720, temos
\Delta=64+720=784.
Agora a raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{784}=28,
pois 28\cdot 28=784.\n
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm 28}{2\cdot 4}=\frac{-8\pm 28}{8}.
Isso dá duas possíveis soluções:
x_{1}=\frac{-8+28}{8}=\frac{20}{8}=2,5
e
x_{2}=\frac{-8-28}{8}=\frac{-36}{8}=-4,5.
Como x representa quantidade produzida (em milhares de litros), descartamos a solução negativa -4,5. Portanto a solução fisicamente aceitável é \;x=2,5 milhares de litros.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida: com x=2,5 milhares de litros, temos y=2x=5 milhares de litros; substituindo em 4x^{2}+4y obtemos
4(2,5)^{2}+4(5)=4\cdot 6,25+20=25+20=45,
que confirma que a solução está correta. Mantém-se coerente com as unidades e com a condição pedida. Força aí — você já garantiu a resposta da questão!

Resposta

2,5 milhares de litros.

Exercícios relacionados