QUESTÃO
A indústria da limpeza encerrou o ano de 2021 com os níveis de produção estáveis, quando comparados com 2020 e 2019. “O que é um grande resultado, quando comparado à produção industrial e ao próprio PIB nestes anos”, sublinha o diretor-executivo da Associação Brasileira das Indústrias de Produtos de Higiene, Limpeza e Saneantes de Uso Doméstico e de Uso Profissional (Abipla), Paulo Engler. A produção no setor já crescia mais do que a indústria em geral mesmo antes da pandemia. “Mas como um todo, ele tem registrado bons resultados, especialmente por conta de lançamentos e inovações da indústria. O setor de saneantes investe muito em Pesquisa e Desenvolvimento, então é um mercado que sempre recebe muitas novidades”, garante Engler.
Fonte: adaptado de: https://diariodocomercio.com.br/economia/industria-da-limpeza-mantem-estabilidade-no-pais/#gref. Acesso em: Agosto. 2024.
Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma de suas linhas de produção. As quantidades de detergente e sabonete líquido produzidos podem ser representadas, respectivamente, por x e y. A interdependência dessas variáveis é dada por
.
Sendo as quantidades de materiais produzidas em milhares de litros, assinale a alternativa que representa quanto se deve produzir, aproximadamente de detergente, para que tal quantidade seja a metade da de sabonete líquido:
ALTERNATIVAS
◯
2,5 milhares de litros.
◯
3,11 milhares de litros.
◯ 4 milhares de litros.
◯ 6 milhares de litros.
◯ 6,5 milhares de litros.
2,5 milhares de litros.
◯
3,11 milhares de litros.
◯ 4 milhares de litros.
◯ 6 milhares de litros.
◯ 6,5 milhares de litros.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre as quantidades produzidas de detergente e sabonete líquido por
onde
é a quantidade de detergente (em milhares de litros) e
a quantidade de sabonete líquido (em milhares de litros). A pergunta é: quanto deve-se produzir de detergente para que essa quantidade seja a metade da quantidade de sabonete líquido? \n
Informações relevantes listadas: \n
Informações relevantes listadas: \n
- Equação dada:
.\n - Unidade: todas as quantidades estão em milhares de litros.\n
- Condição buscada: a quantidade de detergente é a metade da de sabonete líquido, ou seja,
é metade de . (Não resolvemos nada aqui; só explicitamos o que é pedido.)
Passo 2
Interpretar a condição “detergente é a metade do sabonete” em fórmula. Se
é a metade de
, então podemos escrever
É mais conveniente isolar
; multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora substituímos essa expressão de
na equação dada. A equação original é
Substituindo
obtemos, passo a passo,
Passo 3
Explicação da manipulação algébrica que faremos a seguir: precisamos simplificar a expressão e obter uma equação do tipo quadrática padrão
para poder aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula quadrática para resolver
é
onde
são números (coeficientes) da equação. O termo
é chamado de discriminante; ele determina a natureza das raízes (se são reais e distintas, reais iguais ou complexas).
Passo 4
Voltemos à nossa equação substituída. Primeiro simplificamos:
Passando
para o lado esquerdo para ficar no formato padrão:
Identificamos os coeficientes:
.\n
Calculamos o discriminante:
Calculamos o discriminante:
Como
, temos
Agora a raiz quadrada do discriminante:
pois
.\n
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Isso dá duas possíveis soluções:
e
Como
representa quantidade produzida (em milhares de litros), descartamos a solução negativa
. Portanto a solução fisicamente aceitável é
milhares de litros.
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida: com
milhares de litros, temos
milhares de litros; substituindo em
obtemos
que confirma que a solução está correta. Mantém-se coerente com as unidades e com a condição pedida. Força aí — você já garantiu a resposta da questão!