1^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

É de suma importância que o empresário conheça muito bem seus custos e despesas, e saiba calcular corretamente o preço de venda de seus produtos. O cálculo dos custos e preços de venda na indústria merece a atenção dos empreendedores, para evitar prejuízos devido a erros neste processo. Mas se você perguntar a empreendedores se eles sabem como fazer esse cálculo, pode ser que eles não tenham a resposta na ponta da língua e isso gera uma grande preocupação. É necessário ter muito cuidado e buscar conhecimentos sobre o assunto para não ter dor de cabeça, afinal de contas, é com o cálculo correto dos custos e preços de venda que você vai garantir o seu lucro.
Fonte: Disponível em: https://sebrae.com.br/sites/PortalSebrae/ufs/ap/artigos/custos-e-preco-de-venda-naindustria,6ba6164ce51b9410VgnVCM1000003b74010aRCRD. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Um produto, quando comercializado, apresenta a funções custo e receita, dadas, respectivamente, por C = 3 q+90 e R=5 q, em que ’ q ’ é a quantidade comercializada que se supõe que seja a mesma para o custo e receita. Sendo assim, no que corresponde a quantidade para que a receita seja igual ao custo, assinale a alternativa correta:

ALTERNATIVAS

◯ 30.
◯ 45.
◯ 60.
◯ 90.
◯ 120.

Passo 1

O enunciado fornece duas funções dependentes da quantidade q: a função custo e a função receita. As informações dadas são:
C(q)=3q+90
R(q)=5q
O enunciado pergunta: para qual quantidade q a receita é igual ao custo? Ou seja, qual é o valor de q que satisfaz R(q)=C(q).

Passo 2

Entendendo o que significa igualar receita e custo (breakeven): quando R(q)=C(q) a empresa não tem lucro nem prejuízo — a receita cobre exatamente os custos. Para encontrar essa quantidade devemos resolver a equação obtida igualando as duas expressões fornecidas.

Passo 3

Escrevendo a equação que representa “receita igual a custo”:
5q = 3q + 90
Aqui eu apenas substituí R(q) por 5q e C(q) por 3q+90 e coloquei-os iguais, porque a pergunta pede onde essas duas são iguais.

Passo 4

Agora vamos isolar q. Primeiro subtraímos 3q dos dois lados da equação para agrupar os termos com q num mesmo lado (essa operação é permitida porque manter a igualdade ao subtrair o mesmo valor de ambos os lados):
5q-3q = 90

Passo 5

Fazendo a subtração no lado esquerdo:
2q = 90
Expliquei: 5q-3q é igual a 2q, porque estamos somando os coeficientes de q (isto é, 5-3=2).

Passo 6

Para encontrar q dividimos ambos os lados da equação por 2 (dividir ambos os lados por um mesmo número diferente de zero preserva a igualdade):
q = \frac{90}{2}

Passo 7

Calculando a divisão:
q = 45
Isto significa que, ao produzir e vender 45 unidades, a receita será exatamente igual ao custo — ponto de equilíbrio.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): calcular R(45) e C(45).
R(45)=5\cdot 45=225
C(45)=3\cdot 45+90=135+90=225
As duas quantias são iguais, confirmando o resultado obtido.

Resposta

45

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