3{ }^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

Durante testes de vibração em uma peça metálica, os engenheiros observaram que a intensidade da vibração em função do tempo podia ser modelada pela expressão:
I(t)=2 t \cdot \cos \left(t^{2}\right)
Para estimar o comportamento acumulado da vibração em um determinado intervalo, é necessário calcular a integral dessa função.
Resolva a integral indefinida da função \mathrm{I}(\mathrm{t}) utilizando o método da substituição e assinale a alternativa correta:

ALTERNATIVAS

\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)
\cos \left(\mathrm{t}^{2}\right)+\mathrm{C}
\frac{1}{2} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)
\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)+C
\operatorname{sen}^{2}\left(t^{2}\right)+C

Passo 1

O enunciado dá a função de intensidade da vibração em função do tempo \,I(t)=2t\cdot\cos\big(t^{2}\big)\, e pede a integral indefinida dessa função (ou seja, encontrar uma primitiva de I(t)).
Informações relevantes: a expressão da integranda é \,2t\cos\big(t^{2}\big)\,. A questão solicita a primitiva (integral indefinida) e apresenta alternativas para assinalar.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a integral que precisamos calcular:
\int 2t\cos\big(t^{2}\big)\,dt.
O objetivo é encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=2t\cos\big(t^{2}\big).

Passo 3

Vou explicar a ideia do método da substituição de forma didática. A substituição serve para transformar uma integral complicada em outra mais simples: se dentro da integral aparece uma função composta \varphi(g(t)) e a derivada g'(t) (ou um múltiplo dela) também aparece, então é natural fazer u=g(t). Depois substituímos u e expressamos dt em termos de du. Assim reduzimos a integral a uma em u que costuma ser direta de resolver.

Passo 4

No nosso caso a parte composta é \cos\big(t^{2}\big) e vemos também o fator 2t, que é exatamente a derivada de t^{2}. Então escolhemos a substituição
u = t^{2}.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a t:
du = 2t\,dt.
Essa igualdade nos diz que o diferencial 2t\,dt pode ser substituído por du.

Passo 5

Agora fazemos a substituição na integral original. Como 2t\,dt = du e t^{2}=u, a integral fica
\int 2t\cos\big(t^{2}\big)\,dt = \int \cos(u)\,du.
Repare que a integral ficou muito mais simples: é a integral da função cosseno em relação a u.

Passo 6

Conhecemos a primitiva básica do cosseno: a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u). Logo,
\int \cos(u)\,du = \operatorname{sen}(u) + C,
onde C é a constante de integração. Aqui explico rapidamente: dizer que \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u) é uma regra fundamental das derivadas das funções trigonométricas.

Passo 7

Voltamos à variável original substituindo u=t^{2}. Assim a primitiva em t é
\operatorname{sen}\big(t^{2}\big) + C.
Essa é a função cuja derivada é 2t\cos\big(t^{2}\big) — se quiser, a gente verifica isso aplicando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}\big(t^{2}\big)=\cos\big(t^{2}\big)\cdot 2t=2t\cos\big(t^{2}\big), que é exatamente a integranda.

Passo 8

Portanto a integral indefinida pedida é \operatorname{sen}\big(t^{2}\big)+C. Entre as alternativas dadas, a correta é a que contém essa expressão com a constante de integração.

Resposta

\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)+C

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