QUESTÃO
Durante testes de vibração em uma peça metálica, os engenheiros observaram que a intensidade da vibração em função do tempo podia ser modelada pela expressão:
Para estimar o comportamento acumulado da vibração em um determinado intervalo, é necessário calcular a integral dessa função.
Resolva a integral indefinida da função
utilizando o método da substituição e assinale a alternativa correta:
ALTERNATIVAS
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá a função de intensidade da vibração em função do tempo
e pede a integral indefinida dessa função (ou seja, encontrar uma primitiva de
).
Informações relevantes: a expressão da integranda é . A questão solicita a primitiva (integral indefinida) e apresenta alternativas para assinalar.
Informações relevantes: a expressão da integranda é
Passo 2
Escrevemos explicitamente a integral que precisamos calcular:
O objetivo é encontrar uma função
tal que
.
Passo 3
Vou explicar a ideia do método da substituição de forma didática. A substituição serve para transformar uma integral complicada em outra mais simples: se dentro da integral aparece uma função composta
e a derivada
(ou um múltiplo dela) também aparece, então é natural fazer
. Depois substituímos
e expressamos
em termos de
. Assim reduzimos a integral a uma em
que costuma ser direta de resolver.
Passo 4
No nosso caso a parte composta é
e vemos também o fator
, que é exatamente a derivada de
. Então escolhemos a substituição
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Essa igualdade nos diz que o diferencial
pode ser substituído por
.
Passo 5
Agora fazemos a substituição na integral original. Como
e
, a integral fica
Repare que a integral ficou muito mais simples: é a integral da função cosseno em relação a
.
Passo 6
Conhecemos a primitiva básica do cosseno: a derivada de
é
. Logo,
onde
é a constante de integração. Aqui explico rapidamente: dizer que
é uma regra fundamental das derivadas das funções trigonométricas.
Passo 7
Voltamos à variável original substituindo
. Assim a primitiva em
é
Essa é a função cuja derivada é
— se quiser, a gente verifica isso aplicando a regra da cadeia:
, que é exatamente a integranda.
Passo 8
Portanto a integral indefinida pedida é
. Entre as alternativas dadas, a correta é a que contém essa expressão com a constante de integração.