4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão- Mostre a distancia focal f para uma lente delgada cujo índice de refração é n e que está imersa num fluido com índice de refração n’ é dada por
\frac{1}{f}=\frac{n-n^{\prime}}{n^{\prime}}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a distância focal f de uma lente delgada de índice de refração n, imersa num fluido de índice n', satisfaz
\frac{1}{f}=\frac{n-n'}{n'}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr).
O conteúdo principal é refração em superfícies esféricas e a soma de vergências (potências) de superfícies para lentes delgadas.

Passo 2

Começamos pela fórmula da refração em uma superfície esférica, de raio R, que separa um meio de índice n' (de onde vem o raio de curvatura) de um meio de índice n. Se um objeto está a uma distância s (positiva para objetos reais, à esquerda da superfície) e forma-se imagem a s' (positiva se real, à direita), vale
\frac{n'}{s}+\frac{n}{s'}=\frac{n-n'}{R}.
Dessa relação definimos a potência (ou vergência) \Phi da superfície como o fator que liga ângulo incidente e refratado para um objeto no infinito:
\Phi=\frac{n-n'}{n'\,R}.

Passo 3

Para uma lente delgada temos duas superfícies esféricas de raios r_{1} e r_{2}. Na primeira superfície entra luz do fluido n' para a lente n, logo
\Phi_{1}=\frac{n-n'}{n'\,r_{1}}.
Na segunda superfície sai luz da lente n para o fluido n', mas a convenção de sinais para o raio r_{2} já incluiu a mudança de sentido, de modo que
\Phi_{2}=\frac{n'-n}{n'\,r_{2}}.

Passo 4

Em uma lente delgada, desprezamos a espessura interna, de modo que a vergência total é soma das vergências de cada superfície:
\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2} =\frac{n-n'}{n'\,r_{1}}+\frac{n'-n}{n'\,r_{2}} =\frac{n-n'}{n'}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr).

Passo 5

Por definição de vergência, ela é o inverso da distância focal em relação ao fluido externo, ou seja,
\Phi=\frac{1}{f}.
Substituindo o valor de \Phi obtido, vem
\frac{1}{f}=\frac{n-n'}{n'}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr),
como desejado.

Resposta

\frac{1}{f}=\frac{n-n'}{n'}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr).

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