1^{\underline{\text { a }}} Questão- Um objeto de comprimento ’ L ’ e altura ’ h ’ esta ao longo do eixo central de um espelho esférico de foco ’ f ‘, a uma distância ’ p ‘do espelho. Calcule: a) a ampliação lateral (h’/h); b) a amplitude longitudinal (L’/L).

Passo 1

O enunciado trata de um espelho esférico de distância focal f. Um objeto de altura h está colocado sobre o eixo principal a uma distância p do vértice do espelho e tem comprimento ao longo do eixo igual a L. Precisamos usar a equação dos espelhos e as definições de ampliação lateral e longitudinal para achar
– a ampliação lateral \displaystyle \frac{h'}{h},
– a ampliação longitudinal \displaystyle \frac{L'}{L}.

Passo 2

A equação dos espelhos esféricos relaciona objeto e imagem:
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}.
Isolando q, obtemos
q = \frac{pf}{\,p - f\,}.

Passo 3

A ampliação lateral (ou transversal) é definida por
m = \frac{h'}{h} = -\,\frac{q}{p}.
Substituindo q, vem
\frac{h'}{h} = -\,\frac{1}{p}\,\frac{pf}{\,p - f\,} = -\,\frac{f}{\,p - f\,}.

Passo 4

Para a ampliação longitudinal, considere dois pontos do objeto nas posições p e p+L. Suas imagens caem em q e em
q(p+L) = \frac{(p+L)\,f}{\,p+L - f\,}.
Definimos o comprimento da imagem ao longo do eixo por
L' = q(p+L) - q(p).

Passo 5

Se L é pequeno, podemos aproximar
L' \approx \frac{dq}{dp}\,L.
Derivando q(p)=\frac{pf}{p-f} em relação a p:
\frac{dq}{dp} = f\;\frac{(p-f)-p}{(p-f)^{2}} = -\,\frac{f^{2}}{(p-f)^{2}}.

Passo 6

Logo, a ampliação longitudinal é
\frac{L'}{L} = \frac{dq}{dp} = -\,\frac{f^{2}}{(p - f)^{2}}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{h'}{h} = -\,\frac{f}{p - f}.
b) \displaystyle \frac{L'}{L} = -\,\frac{f^{2}}{(\,p - f\,)^{2}}.

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