1{ }^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

“A proporcionalidade entre a tração e a deformação de engenharia é descrita pela Lei de Hooke. A tensão de engenharia \sigma é igual à deformação de engenharia \in multiplicada por E, que é a constante de proporcionalidade, conhecida como módulo de elasticidade ou módulo de Young, cuja unidade no SI é GPa (gigapascal). A determinação do módulo de elasticidade pode ser feita a partir da curva de tensão de engenharia versus deformação de engenharia do material, calculando-se a inclinação da curva na região elástica (inclinação da reta).”
SOUZA, Luis Henrique de. Ciências dos Materiais. Maringá-PR.: Unicesumar, 2019.
Diante do exposto, relacione a equação da Lei de Hooke com a equação da deformação e calcule a variação de comprimento (\Delta \mathrm{I}) sabendo que a liga metálica é o alumínio com Módulo de Elasticidade igual a 69 GPa ou 69.10^{9} \mathrm{~Pa}, com comprimento original de 400 mm , causada por uma tensão de tração com intensidade 100 \cdot 10^{6} \mathrm{~Pa}, considerando a deformação totalmente elástica. Assinale a alternativa correta que traz o resultado do cálculo.

ALTERNATIVAS


0,38 \mathrm{~mm}.

0,48 \mathrm{~mm}.

0,58 \mathrm{~mm}.
0,68 \mathrm{~mm}.

0,78 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O problema pede que eu relacione a Lei de Hooke com a equação da deformação e calcule a variação de comprimento \Delta l para uma barra de alumínio, sabendo os seguintes dados:
E = 69\cdot 10^{9}\\ \mathrm{Pa},
\sigma = 100\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa},
l_{0}=400\\ \mathrm{mm},
e que a deformação é totalmente elástica. A tarefa final é encontrar \Delta l e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Apresento as fórmulas fundamentais que aparecem no enunciado e explico o que cada símbolo significa:
\sigma = E\,\epsilon
Aqui:
  • \sigma é a tensão de engenharia (força por unidade de área), em \mathrm{Pa}.
  • E é o módulo de elasticidade (módulo de Young), em \mathrm{Pa}.
  • \epsilon é a deformação de engenharia (adimensional).
Além disso, a deformação de engenharia é definida por
\epsilon = \frac{\Delta l}{l_{0}}
onde:
  • \Delta l é a variação de comprimento (o que queremos),
  • l_{0} é o comprimento original.

Passo 3

Combino as duas equações para isolar \Delta l. Primeiro uso \sigma = E\,\epsilon para escrever \epsilon = \dfrac{\sigma}{E}. Substituo em \epsilon = \dfrac{\Delta l}{l_{0}}, obtendo
\frac{\Delta l}{l_{0}} = \frac{\sigma}{E}.
Multiplicando por l_{0},
\Delta l = \frac{\sigma}{E}\,l_{0}.
Essa fórmula é simples e útil: a variação de comprimento é o produto da deformação (tensão dividida pelo módulo) pelo comprimento original.

Passo 4

Agora calculo a deformação numérica \epsilon. Uso
\epsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{100\cdot 10^{6}}{69\cdot 10^{9}}.
Faço a simplificação de potências de dez e frações:
\epsilon=\frac{100}{69}\cdot 10^{-3}=\frac{1}{690}\approx 0,00144927536.
Observação: \epsilon é adimensional, então posso multiplicá-la diretamente por l_{0} dado em \mathrm{mm} para obter \Delta l em \mathrm{mm}.

Passo 5

Calculo \Delta l em \mathrm{mm}:
\Delta l=\epsilon\,l_{0}=\frac{1}{690}\cdot 400\\ \mathrm{mm}=\frac{400}{690}\\ \mathrm{mm}.
Simplificando a fração:
\Delta l=\frac{40}{69}\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Transformo a fração em decimal para comparar com as alternativas:
\frac{40}{69}\approx 0,5797101449\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com a precisão apropriada (duas casas decimais, conforme alternativas dadas),
\Delta l\approx 0,58\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida usando metros (cheque de consistência): escrever l_{0}=0{,}4\\ \mathrm{m} e \epsilon\approx 0{,}00144927536
\Delta l=\epsilon\cdot 0{,}4\\ \mathrm{m}\approx 0{,}000579710144\\ \mathrm{m}=0{,}579710144\\ \mathrm{mm},
mesmo valor, portanto consistente.

Resposta

0,58\\ \mathrm{mm}

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