Um capacitor de placas paralelas utiliza um filme polimérico com espessura
\mathrm{e}=100 \mu \mathrm{~m} e área das placas \mathrm{A}= 10 \mathrm{~cm}^{2}. Ele é alimentado por uma fonte com \mathrm{V}_{ \text {rms }}=100 \mathrm{~V}. Compare os dois dielétricos em termos de (a) capacitância, (b) densidade de carga superficial e a (c) polarização §. Além disso, (b) disserte quais mecanismos de polarização existem no HDPE e no PVDF. Explique o motive
A) HDPE (apolar, semicristalino): \varepsilon_{\mathrm{r}}=2,3
B) PVDF (polar, semicristalino): \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{r}}=11
Use
C=\frac{Q}{V}=\epsilon_{r} . C_{0}=\epsilon_{r}, \epsilon_{0} \cdot \frac{A}{l}
Campo elétrico

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare dois dielétricos (HDPE e PVDF) usados num capacitor de placas paralelas em relação a: (a) capacitância, (b) densidade de carga superficial e (c) polarização (P). Além disso, pede que a gente discuta os mecanismos de polarização em cada material e explique o porquê.
Dados fornecidos:
\text{espessura } e = 100\\ \mu\text{m} = 100\times10^{-6}\\ \text{m} = 1\times10^{-4}\\ \text{m}
\text{área } A = 10\\ \text{cm}^2 = 10\times10^{-4}\\ \text{m}^2 = 1\times10^{-3}\\ \text{m}^2á
V_{\text{rms}} = 100\\ \text{V}
Dielétricos:
\text{A) HDPE: }\epsilon_r = 2,3
\text{B) PVDF: }\epsilon_r = 11
Fórmula básica (capacitor de placas paralelas):
C = \epsilon_r C_0,\qquad C_0 = \epsilon_0\frac{A}{e}
Observação: neste passo apenas listei o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Converter constantes e calcular a capacitância de referência C_0.
Constante do vácuo:
\epsilon_0 = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}
Calcular C_0:
C_0 = \epsilon_0\frac{A}{e} = 8,854\times10^{-12}\cdot\frac{1\times10^{-3}}{1\times10^{-4}}
Fazendo a divisão \frac{A}{e}=\frac{1\times10^{-3}}{1\times10^{-4}}=10, logo
C_0 = 8,854\times10^{-12}\cdot10 = 8,854\times10^{-11}\\ \mathrm{F}
Comentário rápido (didático): C_0 é a capacitância que teríamos com vácuo entre as placas; o dielétrico apenas multiplica por \epsilon_r.

Passo 3

Calcular a capacitância de cada dielétrico usando C=\epsilon_r C_0. Mostrar contas passo a passo.
Para HDPE ( \epsilon_r=2,3):
C_{\text{HDPE}} = 2,3\cdot 8,854\times10^{-11} = 2,03642\times10^{-10}\\ \mathrm{F}
Converter para unidades práticas: 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}, então
C_{\text{HDPE}} = 203,642\\ \mathrm{pF}\approx 204\\ \mathrm{pF}
Para PVDF ( \epsilon_r=11):
C_{\text{PVDF}} = 11\cdot 8,854\times10^{-11} = 9,7394\times10^{-10}\\ \mathrm{F}
Em pF:
C_{\text{PVDF}} = 973,94\\ \mathrm{pF}\approx 974\\ \mathrm{pF}
Pequena interpretação: o PVDF, por ter \epsilon_r muito maior, dá quase 5 vezes mais capacitância que o HDPE (11/2,3 \approx4,78).

Passo 4

Calcular o campo elétrico dentro do dielétrico e a carga nas placas (passos intermédios importantes para a densidade de carga).
Em um capacitor de placas paralelas com dielétrico homogêneo e sem cargas internas além das placas, o campo aproximado entre as placas é
E=\frac{V}{e}.
Com V=100\\ \mathrm{V} e e=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
E=\frac{100}{1\times10^{-4}}=1\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Carga total (em módulo) nas placas: Q=C\cdot V. Para HDPE:
Q_{\text{HDPE}} = C_{\text{HDPE}}\cdot V = 2,03642\times10^{-10}\cdot100 = 2,03642\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Para PVDF:
Q_{\text{PVDF}} = 9,7394\times10^{-10}\cdot100 = 9,7394\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a densidade de carga superficial livre nas placas \sigma (isto é Q/A). Mostrar conta e interpretar.
Fórmula:
\sigma = \frac{Q}{A}.
Para HDPE:
\sigma_{\text{HDPE}} = \frac{2,03642\times10^{-8}}{1\times10^{-3}} = 2,03642\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Para PVDF:
\sigma_{\text{PVDF}} = \frac{9,7394\times10^{-8}}{1\times10^{-3}} = 9,7394\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Checagem alternativa (mesma expressão via deslocamento elétrico D): D=\epsilon_0\epsilon_r E e \sigma_{\text{livre}}=D. Se calcularmos D com E=1\times10^6\\ \mathrm{V/m} obtemos os mesmos valores, que confirma as contas.

Passo 6

Definir e calcular a polarização P. Explicação didática do conceito e da fórmula usada.
O que é P? Polarização P é o vetor momento dipolar por unidade de volume: mede quanto o material se polarizou internamente devido ao campo aplicado. Em dielétricos lineares homogêneos, valem as relações:
D=\epsilon_0 E + P \quad\text{e}\quad D=\epsilon_0\epsilon_r E.
Isolando P:
P=\epsilon_0(\epsilon_r-1)E.
Aqui: \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \epsilon_r a permissividade relativa do material e E o campo aplicado. Essa fórmula é muito útil porque liga a resposta macroscópica (\epsilon_r) com a polarização microscópica.
Calcular P para cada material com E=1\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Para HDPE ( \epsilon_r=2,3):
P_{\text{HDPE}} = \epsilon_0(2,3-1)\,E = 8,854\times10^{-12}\cdot1,3\cdot1\times10^{6} = 1,15102\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Para PVDF ( \epsilon_r=11):
P_{\text{PVDF}} = \epsilon_0(11-1)\,E = 8,854\times10^{-12}\cdot10\cdot1\times10^{6} = 8,854\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Interpretação física rápida: P é a parte da densidade de carga ligada ao material (cargas ligadas); a soma \epsilon_0 E + P D que equivale à densidade de carga livre na superfície das placas.

Passo 7

Discutir, de forma didática e comparativa, quais mecanismos de polarização existem em HDPE e em PVDF e por que (resposta em linguagem simples e com analogias).
Mecanismos gerais de polarização (breve resumo):
  • Polarização eletrônica: deslocamento das nuvens eletrônicas relativas aos núcleos quando um campo é aplicado (ocorre em todos os materiais, muito rápida).
  • Polarização iônica: deslocamento relativo de íons em uma rede iônica (relevante em sólidos iônicos, não em polímeros simples não iônicos).
  • Polarização por orientação (dipolar): rotação ou realinhamento de dipolos permanentes dentro do material (importante quando as moléculas têm dipolo permanente).
  • Polarização de interface (Maxwell–Wagner): acúmulo de carga em interfaces entre fases com condutividades/permissividades diferentes (importante em materiais heterogêneos, semicristalinos, filmes com regiões amorfas/cristalinas).
Aplicando aos dois polímeros:
  • HDPE (polietileno de alta densidade): as unidades repetidas são apolares (apenas ligações C–C e C–H, imagem fornecida mostra a cadeia \mathrm{–C–C–} com H). Portanto:
    • Tem polarização eletrônica (sempre presente).
    • NÃO tem polarização por orientação significativa porque não há dipolos permanentes moleculares.
    • Pouca ou nenhuma polarização iônica (não é um material iônico).
    • Pode ter alguma polarização de interface devido à estrutura semicristalina (regiões cristalinas/amorfous), mas isso é secundário. Resultado prático: baixa permissividade ( \epsilon_r\approx2,3), polarização total pequena.
  • PVDF (polifluoreto de vinilideno): as unidades monoméricas contêm ligações C–F muito polares; a cadeia pode ter dipolos permanentes que, em certas fases cristalinas (por ex. fase \beta), alinham-se e até exibem comportamento ferroelétrico:
    • Tem polarização eletrônica (sempre).
    • Tem forte polarização por orientação: moléculas ou segmentos com dipolo permanente podem reorientar/alinhar parcialmente com o campo aplicado — esse é o principal motivo do \epsilon_r elevado.
    • Pode apresentar efeitos adicionais (contribuições de interface entre regiões cristalinas e amorfas) e, em certas condições, efeitos de histerese/ferroeletricidade (remanência), ou seja, alguma polarização que não desaparece instantaneamente ao remover o campo.
      Resultado prático: PVDF apresenta \epsilon_r grande (aqui 11) porque além da eletrônica tem a contribuição intensa da orientação de dipolos permanentes e da estrutura semicristalina que facilita alinhamento local.

Passo 8

Resumo físico-final e incentivo (curto): concluímos numericamente que PVDF dá capacitância e polarização muito maiores que HDPE por causa dos dipolos permanentes (orientação) no PVDF; HDPE é essencialmente apolar, só contribui pela polarização eletrônica (menor). Dá pra ver que as contas numéricas e as fórmulas se encaixam — você já fez o mais difícil: entender as relações e transformar os dados em números concretos. Vai que é tua na prova!

Resposta

(a) Capacitância: HDPE: C_{\text{HDPE}}=2,03642\times10^{-10}\\ \mathrm{F}\approx 204\\ \mathrm{pF}
PVDF: C_{\text{PVDF}}=9,7394\times10^{-10}\\ \mathrm{F}\approx 974\\ \mathrm{pF}
(b) Densidade de carga superficial (carga livre nas placas): HDPE: \sigma_{\text{HDPE}}=2,03642\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}
PVDF: \sigma_{\text{PVDF}}=9,7394\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}
(c) Polarização P: HDPE: P_{\text{HDPE}}=1,15102\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}
PVDF: P_{\text{PVDF}}=8,854\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}
Mecanismos de polarização: HDPE — basicamente polarização eletrônica (material apolar; sem dipolos permanentes; pouca polarização por orientação); PVDF — polarização eletrônica + forte polarização por orientação de dipolos permanentes (e, em filmes semicristalinos, contribuições de interfaces e possivelmente comportamento ferroelétrico local).

Exercícios relacionados