1^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}}.
Informações relevantes fornecidas ou úteis:
  • A expressão é uma potência com base \frac{1+x}{2} e expoente \frac{1}{x-1}.
  • Para x próximo de 0 temos \frac{1+x}{2}>0 (pois 1+x>0 quando x>-1), então a função logaritmo natural da base está bem definida perto de 0.
  • Precisamos calcular o comportamento da expressão quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): para limites de funções do tipo “base positiva elevada a um expoente”, é muito útil usar a identidade
a^b = e^{b\ln a},
válida sempre que a>0. Assim podemos reescrever a expressão que queremos estudar como uma exponencial cujo expoente é um produto:
\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \exp\!\Big(\frac{1}{x-1}\,\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)\Big).
Se a quantidade \frac{1}{x-1}\,\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big) tiver limite finito quando x\to 0, então podemos calcular o limite passando o limite para dentro da exponencial, já que a função \exp é contínua.

Passo 3

Calcular o limite do expoente transformado. Primeiro identificamos separadamente os limites das duas partes do produto que compõe o expoente:
  • A primeira parte é o expoente original:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1}.
Como x\to 0, substituindo x=0 na expressão contínua \frac{1}{x-1} obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0-1}=-1.
  • A segunda parte é o logaritmo da base:
\lim_{x\to 0}\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big).
A função \ln é contínua no seu domínio e \tfrac{1+x}{2} tende para \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}. Portanto
\lim_{x\to 0}\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)=\ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big).

Passo 4

Avaliar o valor de \ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big). Lembrando que \ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\ln(1)-\ln(2)=0-\ln 2=-\ln 2. Logo
\lim_{x\to 0}\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)=-\ln 2.

Passo 5

Agora multiplicamos os limites (produto de limites, já que ambos são finitos):
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1}\,\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)=\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1}\right)\left(\lim_{x\to 0}\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)\right)=(-1)\cdot(-\ln 2)=\ln 2.

Passo 6

Voltando à exponencial: como
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-1}\,\ln\!\big(\tfrac{1+x}{2}\big)=\ln 2,
pela continuidade de \exp temos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}}=\exp(\ln 2)=2.
Observação alternativa curta: também é possível ver que a base tende a \tfrac{1}{2} e o expoente tende a -1, então o limite é \big(\tfrac{1}{2}\big)^{-1}=2; a reescrita com \exp e \ln é a justificativa formal.

Resposta

2

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