Questão: Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes fornecidas ou úteis:
- A expressão é uma potência com base
e expoente . - Para
próximo de temos (pois quando ), então a função logaritmo natural da base está bem definida perto de . - Precisamos calcular o comportamento da expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): para limites de funções do tipo “base positiva elevada a um expoente”, é muito útil usar a identidade
válida sempre que
. Assim podemos reescrever a expressão que queremos estudar como uma exponencial cujo expoente é um produto:
Se a quantidade
tiver limite finito quando
, então podemos calcular o limite passando o limite para dentro da exponencial, já que a função
é contínua.
Passo 3
Calcular o limite do expoente transformado. Primeiro identificamos separadamente os limites das duas partes do produto que compõe o expoente:
- A primeira parte é o expoente original:
Como
, substituindo
na expressão contínua
obtemos
- A segunda parte é o logaritmo da base:
A função
é contínua no seu domínio e
tende para
. Portanto
Passo 4
Avaliar o valor de
. Lembrando que
. Logo
Passo 5
Agora multiplicamos os limites (produto de limites, já que ambos são finitos):
Passo 6
Voltando à exponencial: como
pela continuidade de
temos
Observação alternativa curta: também é possível ver que a base tende a
e o expoente tende a
, então o limite é
; a reescrita com
e
é a justificativa formal.