Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=t^{2} e^{t} \sin 2 t
Escolha uma opção:
\bigcirc a. y_{p}=a t^{2} e^{t} \sin 2 t
\bigcirc b. y_{p}=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right) e^{t} \sin 2 t+\left(b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right) e^{t} \cos 2 t
\bigcirc c. y_{p}=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right) e^{t}(\sin 2 t+\cos 2 t)
\bigcirc d. y_{p}=t^{2} e^{t}(a \sin 2 t+b \cos 2 t)

Verificar

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y''+2y'-3y = t^{2} e^{t}\sin 2t
e pede que escolhamos, entre as opções fornecidas, a forma adequada de uma solução particular y_{p}. Ou seja, precisamos identificar qual hipótese de forma para y_{p} é compatível com o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Vamos estudar a equação homogênea associada e suas raízes característias. A equação característica é
r^{2}+2r-3=0.
Resolvendo-a (fatorando):
r^{2}+2r-3=(r+3)(r-1)=0,
logo as raízes são r=-3 e r=1.

Passo 3

Explico o método que vamos usar (undetermined coefficients) de forma didática. Quando o termo for da forma
P_{m}(t)\,e^{\alpha t}\sin(\beta t)\quad\text{ou}\quad P_{m}(t)\,e^{\alpha t}\cos(\beta t),
onde P_{m}(t) é um polinômio de grau m, a forma usual de tentativa para y_{p} é
y_{p}=e^{\alpha t}\big(Q_{m}(t)\sin(\beta t)+R_{m}(t)\cos(\beta t)\big),
onde Q_{m} e R_{m} são polinômios de grau m com coeficientes a determinar. Além disso, se \alpha+i\beta for raiz da equação característica de multiplicidade s, é necessário multiplicar a tentativa por t^{s}. Vou explicar as variáveis: m é o grau do polinômio no termo forçado, \alpha é a parte real do expoente exponencial, \beta é a frequência da função trigonométrica, e s é a multiplicidade de \alpha+i\beta como raiz da característica (se for raiz).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: o termo do lado direito é t^{2} e^{t}\sin 2t. Então aqui m=2, \alpha=1 e \beta=2. Segundo a regra, a tentativa padrão seria
y_{p}=e^{t}\big(Q_{2}(t)\sin 2t + R_{2}(t)\cos 2t\big),
com Q_{2} e R_{2} polinômios de grau 2 (ou seja, cada um com três coeficientes a determinar).

Passo 5

Precisamos agora verificar se devemos multiplicar por algum fator t^{s}. Para isso checamos se
r=\alpha+i\beta=1+2i
é raiz da característica r^{2}+2r-3. Calculando
(1+2i)^{2}+2(1+2i)-3 = (-3+4i)+(2+4i)-3 = (-4)+8i \neq 0.
Portanto 1+2i NÃO é raiz da característica, logo s=0 e não precisamos multiplicar por nenhum fator extra t^{s}.

Passo 6

Concluímos que a forma correta da tentativa é exatamente
y_{p}=e^{t}\big((a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0})\sin 2t + (b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0})\cos 2t\big),
que é a opção que permite dois polinômios gerais de grau 2 (um para \sin e outro para \cos). Razões práticas para essa escolha: ao derivar t^{2}e^{t}\sin2t aparecem termos com potências menores de t e também termos em \cos2t; por isso precisamos polinômios completos de grau 2 tanto na parte \sin quanto na \cos. Formas mais restritas (por exemplo só t^{2}e^{t}(a\sin2t+b\cos2t) da opção d, ou um único polinômio multiplicando \sin2t+\cos2t da opção c) não são suficientemente gerais para ajustar todos os coeficientes gerados pelas derivadas, e a opção a é muito simplista.

Passo 7

Comparando com as opções dadas, a forma encontrada corresponde exatamente à opção
\text{b. }y_{p}=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right) e^{t} \sin 2 t+\left(b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right) e^{t} \cos 2 t.

Resposta

b

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