Encontre a forma de uma solução particular para a equação
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Verificar
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
e pede que escolhamos, entre as opções fornecidas, a forma adequada de uma solução particular
. Ou seja, precisamos identificar qual hipótese de forma para
é compatível com o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Vamos estudar a equação homogênea associada e suas raízes característias. A equação característica é
Resolvendo-a (fatorando):
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Explico o método que vamos usar (undetermined coefficients) de forma didática. Quando o termo for da forma
onde
é um polinômio de grau
, a forma usual de tentativa para
é
onde
e
são polinômios de grau
com coeficientes a determinar. Além disso, se
for raiz da equação característica de multiplicidade
, é necessário multiplicar a tentativa por
. Vou explicar as variáveis:
é o grau do polinômio no termo forçado,
é a parte real do expoente exponencial,
é a frequência da função trigonométrica, e
é a multiplicidade de
como raiz da característica (se for raiz).
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: o termo do lado direito é
. Então aqui
,
e
. Segundo a regra, a tentativa padrão seria
com
e
polinômios de grau
(ou seja, cada um com três coeficientes a determinar).
Passo 5
Precisamos agora verificar se devemos multiplicar por algum fator
. Para isso checamos se
é raiz da característica
. Calculando
Portanto
NÃO é raiz da característica, logo
e não precisamos multiplicar por nenhum fator extra
.
Passo 6
Concluímos que a forma correta da tentativa é exatamente
que é a opção que permite dois polinômios gerais de grau
(um para
e outro para
). Razões práticas para essa escolha: ao derivar
aparecem termos com potências menores de
e também termos em
; por isso precisamos polinômios completos de grau
tanto na parte
quanto na
. Formas mais restritas (por exemplo só
da opção d, ou um único polinômio multiplicando
da opção c) não são suficientemente gerais para ajustar todos os coeficientes gerados pelas derivadas, e a opção a é muito simplista.
Passo 7
Comparando com as opções dadas, a forma encontrada corresponde exatamente à opção
Resposta
b